Enoncé de l'exercice n° 8-1 : (Extrait : n°4 page 167 livre 2nde Hachette Education)
Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants :
| \(\displaystyle A\left(-5;8\right)\) | \(\displaystyle B\left(6;5\right)\) | \(\displaystyle C\left(-1;3\right)\) | \(\displaystyle D\left(3;2\right)\) | \(\displaystyle E\left(7;-7\right)\) |
Question 1 : Les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle E\) sont-ils alignés ?
Question 2 : Les droites \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(CD\right)\) sont-elles parallèles ?
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Enoncé de l'exercice n° 8-2 : (Extrait : n°5 page 167 livre 2nde Hachette Education)
Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants :
| \(\displaystyle A\left(2;6\right)\) | \(\displaystyle B\left(-3;5\right)\) | \(\displaystyle C\left(4;1\right)\) | \(\displaystyle D\left(-8;-1\right)\) | \(\displaystyle E\left(6;-4\right)\) |
Question 1 : Les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle E\) sont-ils alignés ?
Question 2 : Les droites \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(CD\right)\) sont-elles parallèles ?
Question 3 : Le triangle \(\displaystyle BCD\) est-il isocèle ?
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On considère les points \(\displaystyle A\left(2;3\right)\) , \(\displaystyle B\left(1;-1\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;2\right)\)
Question 1 : Démontrer que le triangle \(\displaystyle ABC\) est rectangle et isocèle.
Question 2 : Calculer les coordonnées du point \(\displaystyle D\) tel que \(\displaystyle ABCD\) soit un carré.
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On considère les points \(\displaystyle A\left(-1;4\right)\) , \(\displaystyle B\left(5;2\right)\) et \(\displaystyle M\left(x;y\right)\).
Question 1 : Calculer les coordonnées du milieu \(\displaystyle I\) de \(\displaystyle \left[AB\right]\).
Question 2 : Exprimer les coordonnées de \(\displaystyle \overrightarrow{MA}\), \(\displaystyle \overrightarrow{MB}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{MI}\) en fonction de \(\displaystyle x\) et de \(\displaystyle y\).
Question 3 : Démontrer que \(\displaystyle \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
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On considère les points \(\displaystyle A\left(-2;5\right)\) , \(\displaystyle B\left(2;-2\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;3\right)\).
Question 1 : Déterminer les coordonnées du point \(\displaystyle D\), défini par \(\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}\).
Question 2 : Déterminer les coordonnées du point \(\displaystyle E\), défini par \(\displaystyle \overrightarrow{BE}=\frac{-1}{8}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{8}\overrightarrow{BC}\).
Question 3 : Démontrer que les points \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\) et \(\displaystyle E\) sont alignés.
Correction de l'exercice n° 8-5 :
Question 1 : Pour déterminer les coordonnées du point \(\displaystyle D\), on détermine les coordonnées des vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{AD}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\) :
Comme \(\displaystyle A\left(-2;5\right)\) et \(\displaystyle D\left(x_D;y_D\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix} x_D+2 \\ y_D-5\\ \end{pmatrix}\).
Comme \(\displaystyle A\left(-2;5\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;3\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 8 \\ -2\\ \end{pmatrix}\).
Ainsi, on a alors \(\displaystyle \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 12 \\ -3\\ \end{pmatrix}\), d'où le système :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} x_D+2&=12 \\ y_D-5&=-3 \end{array} \right. \)
\(\displaystyle \text{Ce qui donne }\left\{ \begin{array}{ll} x_D&=10 \\ y_D&=2 \end{array} \right. \)
Les coordonnées de \(\displaystyle D\) sont \(\displaystyle D\left(10;2\right)\).
Question 2 : Pour déterminer les coordonnées du point \(\displaystyle E\), on détermine les coordonnées des vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{BE}\), \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) :
Comme \(\displaystyle B\left(2;-2\right)\) et \(\displaystyle E\left(x_E;y_E\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} x_E-2 \\ y_E+2\\ \end{pmatrix}\).
Comme \(\displaystyle B\left(2;-2\right)\) et \(\displaystyle A\left(-2;5\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} -4 \\ 7\\ \end{pmatrix}\).
Comme \(\displaystyle B\left(2;-2\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;3\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 4 \\ 5\\ \end{pmatrix}\).
Ainsi, on a alors \(\displaystyle \frac{-1}{8}\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{-7}{8}\\ \end{pmatrix}\), puis on a \(\displaystyle \frac{3}{8}\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ \frac{15}{8}\\ \end{pmatrix}\) d'où le système :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} x_E-2&=\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \\ y_E+2&=\frac{-7}{8}+\frac{15}{8} \end{array} \right. \)
\(\displaystyle \text{Ce qui donne }\left\{ \begin{array}{ll} x_E&=+2+\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \\ y_E&=-2+\frac{-7}{8}+\frac{15}{8} \end{array} \right. \)
\(\displaystyle \text{Ce qui donne }\left\{ \begin{array}{ll} x_E&=\frac{4+1+3}{2} \\ y_E&=\frac{-16-7+15}{8} \end{array} \right. \)
\(\displaystyle \text{Ce qui donne }\left\{ \begin{array}{ll} x_E&=4 \\ y_E&=-1 \end{array} \right. \)
Les coordonnées de \(\displaystyle E\) sont \(\displaystyle E\left(4;-1\right)\).
Question 3 : Pour démontrer que les points \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\) et \(\displaystyle E\) sont alignés, on montre que les vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{BE}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{BD}\) sont colinéaires, soit encore que \(\displaystyle \det\left(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BD}\right)=0\) :
Comme \(\displaystyle B\left(2;-2\right)\) et \(\displaystyle D\left(10;2\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} 8 \\ 4\\ \end{pmatrix}\).
Comme \(\displaystyle B\left(2;-2\right)\) et \(\displaystyle E\left(4;-1\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\ \end{pmatrix}\) soit \(\displaystyle \overrightarrow{BE}\begin{pmatrix} \frac{7}{8} \\ \frac{5}{4}\\ \end{pmatrix}\).
On a alors \(\displaystyle \begin{align*} \det\left(\overrightarrow{BD};\overrightarrow{BE}\right)&=\begin{vmatrix} 8&2\\4&1\end{vmatrix} \\ &=8\times1-4\times2 \\ &=8-8 \\ &=0 \end{align*} \)
Le déterminant des deux vecteurs est nul. Ils sont donc colinéaires. Comme ils ont un point en commun, les trois points \(\displaystyle B\) \(\displaystyle D\) et \(\displaystyle E\) sont alignés.
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On considère les points \(\displaystyle A\left(-2;-3\right)\) , \(\displaystyle B\left(3;3\right)\) et \(\displaystyle C\left(4;-1\right)\). L'origine du repère est le point \(\displaystyle O\) et on note \(\displaystyle I\) le milieu de \(\displaystyle \left[AC\right]\).
Question 1 : Calculer les coordonnées du point \(\displaystyle P\), défini par \(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Question 2 : Démontrer que les droites \(\displaystyle \left(OP\right)\) et \(\displaystyle \left(IB\right)\) sont parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 8-7 : (Extrait : Exercice n°64 page 175 Déclic 2nde Hachette)
Dans un repère orthonormé \(\displaystyle \left(O;I;J\right)\) on considère les points \(\displaystyle A\left(-4;2\right)\), \(\displaystyle B\left(4;-6\right)\), \(\displaystyle C\left(8;6\right)\), \(\displaystyle D\left(3;1\right)\) et \(\displaystyle E\left(0;-2\right)\)
Question 1 : Montrer que le point \(\displaystyle D\) appartient à la médiatrice du segment \(\displaystyle \left[AB\right]\).
Question 2 : Déterminer la nature du triangle \(\displaystyle ABC\).
Question 3 : En déduire que \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(CD\right)\) sont perpendiculaires.
Question 4 : Le point \(\displaystyle D\) est-il le milieu du segment \(\displaystyle \left[CE\right]\) ?
Question 5 : Calculer l'aire du triangle \(\displaystyle ABC\).
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Enoncé de l'exercice n° 8-8 : (Extrait : Exercice n°84 page 178 Déclic 2nde Hachette)
Dans un repère orthonormé \(\displaystyle \left(O;I;J\right)\) on considère les points \(\displaystyle O\left(4;4\right)\), \(\displaystyle A\left(-1;4\right)\), \(\displaystyle B\left(8;7\right)\), \(\displaystyle C\left(0;1\right)\) , \(\displaystyle D\left(7;0\right)\) , \(\displaystyle T\left(1;8\right)\) et \(\displaystyle M\left(-7;2\right)\). La situation est résumée dans le schéma suivant :
Question 1 : Justifier que les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) et \(\displaystyle T\) appartiennent à un même cercle \(\displaystyle \mathcal{C}\) de centre \(\displaystyle O\).
Question 2 : Les points \(\displaystyle M\), \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) sont-ils alignés ?
Question 3 : Les points \(\displaystyle M\), \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle D\) sont-ils alignés ?
Question 4 : Comparer les produits : \(\displaystyle MA\times MB\) ; \(\displaystyle MC\times MD\) et \(\displaystyle MT^2\).
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Enoncé de l'exercice n° 8-9 : (Extrait : Exercice n°85 page 178 Déclic 2nde Hachette)
Dans un repère orthonormé \(\displaystyle \left(O;I;J\right)\) on considère les points \(\displaystyle A\left(2;4\right)\), \(\displaystyle B\left(-1;2\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;-2\right)\).
On note \(\displaystyle \mathcal{C}\) le cercle circonscrit au triangle \(\displaystyle ABC\). La situation est résumée dans la figure suivante :
Question 1 : Donner la nature du triangle \(\displaystyle ABC\).
Question 2 : Déterminer le centre et le rayon du cercle \(\displaystyle \mathcal{C}\).
Question 3 : Justifier si le point \(\displaystyle D\left(3;-4\right)\) appartient au cercle \(\displaystyle \mathcal{C}\).
Question 4 : Déterminer les coordonnées des points \(\displaystyle E\) et \(\displaystyle F\) d'intersection de \(\displaystyle \mathcal{C}\) avec l'axe des abscisses.
Question 5 : Dire si le segment \(\displaystyle \left[EF\right]\) est un diamètre de \(\displaystyle \mathcal{C}\)
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