Enoncé de l'exercice n° 8-1 : (Extrait : n°4 page 167 livre 2nde Hachette Education)
Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants :
| \(\displaystyle A\left(-5;8\right)\) | \(\displaystyle B\left(6;5\right)\) | \(\displaystyle C\left(-1;3\right)\) | \(\displaystyle D\left(3;2\right)\) | \(\displaystyle E\left(7;-7\right)\) |
Question 1 : Les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle E\) sont-ils alignés ?
Question 2 : Les droites \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(CD\right)\) sont-elles parallèles ?
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Enoncé de l'exercice n° 8-2 : (Extrait : n°5 page 167 livre 2nde Hachette Education)
Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants :
| \(\displaystyle A\left(2;6\right)\) | \(\displaystyle B\left(-3;5\right)\) | \(\displaystyle C\left(4;1\right)\) | \(\displaystyle D\left(-8;-1\right)\) | \(\displaystyle E\left(6;-4\right)\) |
Question 1 : Les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle E\) sont-ils alignés ?
Question 2 : Les droites \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(CD\right)\) sont-elles parallèles ?
Question 3 : Le triangle \(\displaystyle BCD\) est-il isocèle ?
Correction de l'exercice n° 8-2 :
Question 1 : Pour savoir si les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle E\) sont alignés, on cherche une relation de colinéarité avec les vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{AE}\).
Pour cela, on détermine les coordonnées de chacun :
Comme \(\displaystyle A\left(2;6\right)\) et \(\displaystyle C\left(4;1\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4-2 \\ 1-6\\ \end{pmatrix}\), ce qui donne \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ -5\\ \end{pmatrix}\).
Comme \(\displaystyle A\left(2;6\right)\) et \(\displaystyle E\left(6;-4\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} 6-2 \\ -4-6\\ \end{pmatrix}\), ce qui donne \(\displaystyle \overrightarrow{AE}\begin{pmatrix} 4 \\ -10\\ \end{pmatrix}\).
Pour savoir enfin si ces deux vecteurs sont coliénaires, on calcule leur déterminant :
\(\displaystyle \begin{align*} \det\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AE}\right)&=\begin{vmatrix} 2&4\\-5&-10\end{vmatrix} \\ &=2\times\left(-10\right)-\left(-5\right)\times4 \\ &=-20+20 \\ &=0 \end{align*} \)
On remarque que \(\displaystyle \det\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AE}\right)=0\), alors les vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{AE}\) sont colinéaires. De plus, le point \(\displaystyle A\) est commun aux deux vecteurs. On en conclue que les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle E\) et \(\displaystyle C\) sont alignés.
Question 2 : Pour savoir si les droites \(\displaystyle \left(AB\right)\), \(\displaystyle \left(CD\right)\) sont parallèles, on cherche une relation de colinéarité avec les vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{CD}\).
Pour cela, on détermine les coordonnées de chacun :
Comme \(\displaystyle A\left(2;6\right)\) et \(\displaystyle B\left(-3;5\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -3-2 \\ 5-6\\ \end{pmatrix}\), ce qui donne \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -5 \\ -1\\ \end{pmatrix}\).
Comme \(\displaystyle C\left(4;1\right)\) et \(\displaystyle D\left(-8;-1\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -8-4 \\ -1-1\\ \end{pmatrix}\), ce qui donne \(\displaystyle \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} -12 \\ -2\\ \end{pmatrix}\).
Pour savoir enfin si ces deux vecteurs sont coliénaires, on calcule leur déterminant :
\(\displaystyle \begin{align*} \det\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)&=\begin{vmatrix} -5&-12\\-1&-2\end{vmatrix} \\ &=-5\times\left(-2\right)-\left(-1\right)\times\left(-12\right) \\ &=10-12 \\ &=-2 \end{align*} \)
On remarque que \(\displaystyle \det\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)\neq0\), alors les vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{CD}\) ne sont pas colinéaires. Les droites \(\displaystyle \left(AB\right)\), \(\displaystyle \left(CD\right)\) ne sont pas parallèles.
Question 3 : Pour savoir si le triangle \(\displaystyle BCD\) est isocèle, on calcule les longueurs de chaque côté :
Calculons \(\displaystyle BC\) avec \(\displaystyle BC=\left\|\overrightarrow{BC}\right\|\) :
\(\displaystyle \begin{align*} BC&=\sqrt{\left(4-(-3)\right)^2+\left(1-5\right)^2} \\ &=\sqrt{7^2+\left(-4\right)^2} \\ &=\sqrt{49+16} \\ &=\sqrt{65} \end{align*} \)
Calculons \(\displaystyle BD\) avec \(\displaystyle BD=\left\|\overrightarrow{BD}\right\|\) :
\(\displaystyle \begin{align*} BD&=\sqrt{\left(-8-(-3)\right)^2+\left(-1-5\right)^2} \\ &=\sqrt{\left(-5\right)^2+\left(-6\right)^2} \\ &=\sqrt{25+36} \\ &=\sqrt{61} \end{align*} \)
Calculons \(\displaystyle CD\) avec \(\displaystyle CD=\left\|\overrightarrow{CD}\right\|\) :
\(\displaystyle \begin{align*} CD&=\sqrt{\left(-8-4\right)^2+\left(-1-1\right)^2} \\ &=\sqrt{\left(-12\right)^2+\left(-2\right)^2} \\ &=\sqrt{144+4} \\ &=\sqrt{148} \\ &=2\sqrt{37} \end{align*} \)
On remarque qu'aucune longueur n'est égale. Le triangle \(\displaystyle BCD\) n'est donc pas isocèle.
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On considère les points \(\displaystyle A\left(2;3\right)\) , \(\displaystyle B\left(1;-1\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;2\right)\)
Question 1 : Démontrer que le triangle \(\displaystyle ABC\) est rectangle et isocèle.
Question 2 : Calculer les coordonnées du point \(\displaystyle D\) tel que \(\displaystyle ABCD\) soit un carré.
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On considère les points \(\displaystyle A\left(-1;4\right)\) , \(\displaystyle B\left(5;2\right)\) et \(\displaystyle M\left(x;y\right)\).
Question 1 : Calculer les coordonnées du milieu \(\displaystyle I\) de \(\displaystyle \left[AB\right]\).
Question 2 : Exprimer les coordonnées de \(\displaystyle \overrightarrow{MA}\), \(\displaystyle \overrightarrow{MB}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{MI}\) en fonction de \(\displaystyle x\) et de \(\displaystyle y\).
Question 3 : Démontrer que \(\displaystyle \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
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On considère les points \(\displaystyle A\left(-2;5\right)\) , \(\displaystyle B\left(2;-2\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;3\right)\).
Question 1 : Déterminer les coordonnées du point \(\displaystyle D\), défini par \(\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}\).
Question 2 : Déterminer les coordonnées du point \(\displaystyle E\), défini par \(\displaystyle \overrightarrow{BE}=\frac{-1}{8}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{8}\overrightarrow{BC}\).
Question 3 : Démontrer que les points \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\) et \(\displaystyle E\) sont alignés.
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On considère les points \(\displaystyle A\left(-2;-3\right)\) , \(\displaystyle B\left(3;3\right)\) et \(\displaystyle C\left(4;-1\right)\). L'origine du repère est le point \(\displaystyle O\) et on note \(\displaystyle I\) le milieu de \(\displaystyle \left[AC\right]\).
Question 1 : Calculer les coordonnées du point \(\displaystyle P\), défini par \(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Question 2 : Démontrer que les droites \(\displaystyle \left(OP\right)\) et \(\displaystyle \left(IB\right)\) sont parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 8-7 : (Extrait : Exercice n°64 page 175 Déclic 2nde Hachette)
Dans un repère orthonormé \(\displaystyle \left(O;I;J\right)\) on considère les points \(\displaystyle A\left(-4;2\right)\), \(\displaystyle B\left(4;-6\right)\), \(\displaystyle C\left(8;6\right)\), \(\displaystyle D\left(3;1\right)\) et \(\displaystyle E\left(0;-2\right)\)
Question 1 : Montrer que le point \(\displaystyle D\) appartient à la médiatrice du segment \(\displaystyle \left[AB\right]\).
Question 2 : Déterminer la nature du triangle \(\displaystyle ABC\).
Question 3 : En déduire que \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(CD\right)\) sont perpendiculaires.
Question 4 : Le point \(\displaystyle D\) est-il le milieu du segment \(\displaystyle \left[CE\right]\) ?
Question 5 : Calculer l'aire du triangle \(\displaystyle ABC\).
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Enoncé de l'exercice n° 8-8 : (Extrait : Exercice n°84 page 178 Déclic 2nde Hachette)
Dans un repère orthonormé \(\displaystyle \left(O;I;J\right)\) on considère les points \(\displaystyle O\left(4;4\right)\), \(\displaystyle A\left(-1;4\right)\), \(\displaystyle B\left(8;7\right)\), \(\displaystyle C\left(0;1\right)\) , \(\displaystyle D\left(7;0\right)\) , \(\displaystyle T\left(1;8\right)\) et \(\displaystyle M\left(-7;2\right)\). La situation est résumée dans le schéma suivant :
Question 1 : Justifier que les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) et \(\displaystyle T\) appartiennent à un même cercle \(\displaystyle \mathcal{C}\) de centre \(\displaystyle O\).
Question 2 : Les points \(\displaystyle M\), \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) sont-ils alignés ?
Question 3 : Les points \(\displaystyle M\), \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle D\) sont-ils alignés ?
Question 4 : Comparer les produits : \(\displaystyle MA\times MB\) ; \(\displaystyle MC\times MD\) et \(\displaystyle MT^2\).
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Enoncé de l'exercice n° 8-9 : (Extrait : Exercice n°85 page 178 Déclic 2nde Hachette)
Dans un repère orthonormé \(\displaystyle \left(O;I;J\right)\) on considère les points \(\displaystyle A\left(2;4\right)\), \(\displaystyle B\left(-1;2\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;-2\right)\).
On note \(\displaystyle \mathcal{C}\) le cercle circonscrit au triangle \(\displaystyle ABC\). La situation est résumée dans la figure suivante :
Question 1 : Donner la nature du triangle \(\displaystyle ABC\).
Question 2 : Déterminer le centre et le rayon du cercle \(\displaystyle \mathcal{C}\).
Question 3 : Justifier si le point \(\displaystyle D\left(3;-4\right)\) appartient au cercle \(\displaystyle \mathcal{C}\).
Question 4 : Déterminer les coordonnées des points \(\displaystyle E\) et \(\displaystyle F\) d'intersection de \(\displaystyle \mathcal{C}\) avec l'axe des abscisses.
Question 5 : Dire si le segment \(\displaystyle \left[EF\right]\) est un diamètre de \(\displaystyle \mathcal{C}\)
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