Enoncé de l'exercice n° 8-1 : (Extrait : n°4 page 167 livre 2nde Hachette Education)
Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants :
| \(\displaystyle A\left(-5;8\right)\) | \(\displaystyle B\left(6;5\right)\) | \(\displaystyle C\left(-1;3\right)\) | \(\displaystyle D\left(3;2\right)\) | \(\displaystyle E\left(7;-7\right)\) |
Question 1 : Les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle E\) sont-ils alignés ?
Question 2 : Les droites \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(CD\right)\) sont-elles parallèles ?
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Enoncé de l'exercice n° 8-2 : (Extrait : n°5 page 167 livre 2nde Hachette Education)
Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants :
| \(\displaystyle A\left(2;6\right)\) | \(\displaystyle B\left(-3;5\right)\) | \(\displaystyle C\left(4;1\right)\) | \(\displaystyle D\left(-8;-1\right)\) | \(\displaystyle E\left(6;-4\right)\) |
Question 1 : Les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle E\) sont-ils alignés ?
Question 2 : Les droites \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(CD\right)\) sont-elles parallèles ?
Question 3 : Le triangle \(\displaystyle BCD\) est-il isocèle ?
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On considère les points \(\displaystyle A\left(2;3\right)\) , \(\displaystyle B\left(1;-1\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;2\right)\)
Question 1 : Démontrer que le triangle \(\displaystyle ABC\) est rectangle et isocèle.
Question 2 : Calculer les coordonnées du point \(\displaystyle D\) tel que \(\displaystyle ABCD\) soit un carré.
Correction de l'exercice n° 8-3 :
Question 1 : Pour montrer que le triangle \(\displaystyle ABC\) est rectangle et isocèle, il faut d'abord calculer les longueurs \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle AC\) et \(\displaystyle BC\). Pour cela, on détermine les coordonnées de chaque vecteur :
Comme \(\displaystyle A\left(2;3\right)\) et \(\displaystyle B\left(1;-1\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-2 \\ -1-3\\ \end{pmatrix}\), ce qui donne \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \\ -4\\ \end{pmatrix}\).
Comme \(\displaystyle A\left(2;3\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;2\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 6-2 \\ 2-3\\ \end{pmatrix}\), ce qui donne \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ -1\\ \end{pmatrix}\).
Comme \(\displaystyle B\left(1;-1\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;2\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 6-1 \\ 2-(-1)\\ \end{pmatrix}\), ce qui donne \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} 5 \\ 3\\ \end{pmatrix}\).
On calcule maintenant chaque longueur :
\(\displaystyle \begin{align*} AB&=\left\|\overrightarrow{AB}\right\| & AC&=\left\|\overrightarrow{AC}\right\| & BC&=\left\|\overrightarrow{BC}\right\|\\ &=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2} & &=\sqrt{4^2+(-1)^2} & &=\sqrt{5^2+3^2} \\ &=\sqrt{1+16} & &=\sqrt{16+1} & &=\sqrt{25+9} \\ &=\sqrt{17} & &=\sqrt{17} & &=\sqrt{34} \\ \end{align*} \)
On remarque dans un premier temps que \(\displaystyle AB=AC\) : le triangle est isocèle. Pour savoir ensuite s'il est rectangle, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore :
\(\displaystyle \begin{align*} \text{On a d'une part } AB^2+AC^2&=\sqrt{17}^2+\sqrt{17}^2 & \text{ et d'autre part } BC^2=\sqrt{34}^2 \\ &=2\times17 & =34 \\ &=34 & =34 \\ \end{align*} \)
On arrive au résultat \(\displaystyle AB^2+AC^2=BC^2\) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.
Conclusion : le triangle \(\displaystyle ABC\) est rectangle isocèle.
Question 2 : Posons les coordonnées de \(\displaystyle D\) : \(\displaystyle D\left(x;y\right)\).
Pour que le quadrilatère \(\displaystyle ABCD\) soit un carré, sachant que le triangle ÂBC\) est rectangle isocèle, il faut déterminer les valeurs de \(\displaystyle x\) et de \(\displaystyle y\) de façon à ce que, par exemple, \(\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\).
On déterminer auparavanat les coordonées du vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{BD}\). Celles du vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{AC}\) sont connues :
Comme \(\displaystyle B\left(1;-1\right)\) et \(\displaystyle D\left(x;y\right)\) alors \(\displaystyle \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} x-1 \\ y-(-1)\\ \end{pmatrix}\), ce qui donne \(\displaystyle \overrightarrow{BD}\begin{pmatrix} x-1 \\ y+1\\ \end{pmatrix}\).
L'égalité étant respectée pour les coordonnées, on a alors :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} x-1&=4 \\ y+1&=-1 \end{array} \right. \)
\(\displaystyle \text{Ce qui donne } \left\{ \begin{array}{ll} x&=5 \\ y&=-2 \end{array} \right. \)
Les coordonnées de \(\displaystyle D\) sont \(\displaystyle D\left(5;-2\right)\).
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On considère les points \(\displaystyle A\left(-1;4\right)\) , \(\displaystyle B\left(5;2\right)\) et \(\displaystyle M\left(x;y\right)\).
Question 1 : Calculer les coordonnées du milieu \(\displaystyle I\) de \(\displaystyle \left[AB\right]\).
Question 2 : Exprimer les coordonnées de \(\displaystyle \overrightarrow{MA}\), \(\displaystyle \overrightarrow{MB}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{MI}\) en fonction de \(\displaystyle x\) et de \(\displaystyle y\).
Question 3 : Démontrer que \(\displaystyle \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
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On considère les points \(\displaystyle A\left(-2;5\right)\) , \(\displaystyle B\left(2;-2\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;3\right)\).
Question 1 : Déterminer les coordonnées du point \(\displaystyle D\), défini par \(\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}\).
Question 2 : Déterminer les coordonnées du point \(\displaystyle E\), défini par \(\displaystyle \overrightarrow{BE}=\frac{-1}{8}\overrightarrow{BA}+\frac{3}{8}\overrightarrow{BC}\).
Question 3 : Démontrer que les points \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\) et \(\displaystyle E\) sont alignés.
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On considère les points \(\displaystyle A\left(-2;-3\right)\) , \(\displaystyle B\left(3;3\right)\) et \(\displaystyle C\left(4;-1\right)\). L'origine du repère est le point \(\displaystyle O\) et on note \(\displaystyle I\) le milieu de \(\displaystyle \left[AC\right]\).
Question 1 : Calculer les coordonnées du point \(\displaystyle P\), défini par \(\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Question 2 : Démontrer que les droites \(\displaystyle \left(OP\right)\) et \(\displaystyle \left(IB\right)\) sont parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 8-7 : (Extrait : Exercice n°64 page 175 Déclic 2nde Hachette)
Dans un repère orthonormé \(\displaystyle \left(O;I;J\right)\) on considère les points \(\displaystyle A\left(-4;2\right)\), \(\displaystyle B\left(4;-6\right)\), \(\displaystyle C\left(8;6\right)\), \(\displaystyle D\left(3;1\right)\) et \(\displaystyle E\left(0;-2\right)\)
Question 1 : Montrer que le point \(\displaystyle D\) appartient à la médiatrice du segment \(\displaystyle \left[AB\right]\).
Question 2 : Déterminer la nature du triangle \(\displaystyle ABC\).
Question 3 : En déduire que \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(CD\right)\) sont perpendiculaires.
Question 4 : Le point \(\displaystyle D\) est-il le milieu du segment \(\displaystyle \left[CE\right]\) ?
Question 5 : Calculer l'aire du triangle \(\displaystyle ABC\).
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Enoncé de l'exercice n° 8-8 : (Extrait : Exercice n°84 page 178 Déclic 2nde Hachette)
Dans un repère orthonormé \(\displaystyle \left(O;I;J\right)\) on considère les points \(\displaystyle O\left(4;4\right)\), \(\displaystyle A\left(-1;4\right)\), \(\displaystyle B\left(8;7\right)\), \(\displaystyle C\left(0;1\right)\) , \(\displaystyle D\left(7;0\right)\) , \(\displaystyle T\left(1;8\right)\) et \(\displaystyle M\left(-7;2\right)\). La situation est résumée dans le schéma suivant :
Question 1 : Justifier que les points \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\) et \(\displaystyle T\) appartiennent à un même cercle \(\displaystyle \mathcal{C}\) de centre \(\displaystyle O\).
Question 2 : Les points \(\displaystyle M\), \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) sont-ils alignés ?
Question 3 : Les points \(\displaystyle M\), \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle D\) sont-ils alignés ?
Question 4 : Comparer les produits : \(\displaystyle MA\times MB\) ; \(\displaystyle MC\times MD\) et \(\displaystyle MT^2\).
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Enoncé de l'exercice n° 8-9 : (Extrait : Exercice n°85 page 178 Déclic 2nde Hachette)
Dans un repère orthonormé \(\displaystyle \left(O;I;J\right)\) on considère les points \(\displaystyle A\left(2;4\right)\), \(\displaystyle B\left(-1;2\right)\) et \(\displaystyle C\left(6;-2\right)\).
On note \(\displaystyle \mathcal{C}\) le cercle circonscrit au triangle \(\displaystyle ABC\). La situation est résumée dans la figure suivante :
Question 1 : Donner la nature du triangle \(\displaystyle ABC\).
Question 2 : Déterminer le centre et le rayon du cercle \(\displaystyle \mathcal{C}\).
Question 3 : Justifier si le point \(\displaystyle D\left(3;-4\right)\) appartient au cercle \(\displaystyle \mathcal{C}\).
Question 4 : Déterminer les coordonnées des points \(\displaystyle E\) et \(\displaystyle F\) d'intersection de \(\displaystyle \mathcal{C}\) avec l'axe des abscisses.
Question 5 : Dire si le segment \(\displaystyle \left[EF\right]\) est un diamètre de \(\displaystyle \mathcal{C}\)
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