Enoncé de l'exercice n° 2-1 : (Extrait : n°10 page 203 - Maths 3ème - Bordas)
On a représenté ci-dessous une partie d'un toit :
Question 1 : Pour calculer la longueur \( \displaystyle AB\), peut-on utiliser le théorème de Thalès dans le triangle \( \displaystyle ABC\) ? Pourquoi ?
Question 2 : Calculer la longueur \( \displaystyle AB\) au sol.
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Enoncé de l'exercice n° 2-2 : (Extrait : n°27 page 206 - Maths 3ème - Bordas)
On considère la figure suivante :
On donne les mesures : \( \displaystyle DP=5\)cm ; \( \displaystyle AP=4\)cm ; \( \displaystyle PB=3\)cm et \( \displaystyle PC=3,75\)cm.
Question : Démontrer que les droites \( \displaystyle \left(AB\right)\) et \( \displaystyle \left(CD\right)\) sont parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 2-3 : (Extrait : n°28 page 206 - Maths 3ème - Bordas)
On considère la figure suivante :
On donne les mesures : \( \displaystyle AF=6\)cm ; \( \displaystyle AE=4,2\)cm ; \( \displaystyle AC=6,3\)cm et \( \displaystyle AD=9\)cm.
Question : Démontrer que les droites \( \displaystyle \left(CD\right)\) et \( \displaystyle \left(EF\right)\) sont parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 2-4 : (Extrait : n°29 page 206 - Maths 3ème - Bordas)
\( \displaystyle A\), \( \displaystyle M\) et \( \displaystyle C\) sont trois points alignés dans cet ordre tels que \( \displaystyle AM=3,5\)cm et \( \displaystyle MC=5,5\)cm.
D'autre part, les points \( \displaystyle D\), \( \displaystyle M\) et \( \displaystyle E\) sont alignés dans cet ordre tels que \( \displaystyle DM=4,5\)cm et \( \displaystyle ME=7,3\)cm
Question 1 : Réaliser une figure.
Question 2 : Démontrer que les droites \( \displaystyle \left(AD\right)\) et \( \displaystyle \left(CE\right)\) ne sont pas parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 2-5 : (Extrait : n°18 page 204 - Maths 3ème - Bordas)
Dans la figure ci-contre, \( \displaystyle \left(AB\right)//\left(MN\right)\). Un élève veut calculer la longueur \( \displaystyle AB\).
Raisonnement :
Les droites \( \displaystyle \left(MA\right)\) et \( \displaystyle \left(NB\right)\) sont sécantes en \( \displaystyle C\).
Les droites \( \displaystyle \left(AB\right)\) et \( \displaystyle \left(MN\right)\) sont parallèles.
\( \displaystyle \frac{AC}{AM}=\frac{BC}{BN}=\frac{AB}{MN}\) soit \( \displaystyle \frac{AC}{AM}=\frac{4,4}{2}=\frac{AB}{7,2}\).
Donc \( \displaystyle AB=\frac{7,2\times4,4}{2}=15,84\)cm.
Question : Que peut-on penser de son raisonnement ?
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Enoncé de l'exercice n° 2-6 : (Extrait : n°19 page 204 - Maths 3ème - Bordas)
On considère la figure ci-dessous :
Question 1 : Dans le trinagle \( \displaystyle AED\), calculer \( \displaystyle ED\).
Question 2 : Prouver que les droites \( \displaystyle \left(ED\right)\) et \( \displaystyle \left(BC\right)\) sont parallèles.
Question 2 : Calculer \( \displaystyle BC\).
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Enoncé de l'exercice n° 2-7 : (Extrait : n°32 page 207 - Maths 3ème - Bordas)
On considère la figure ci-dessous :
Question 1 : Démontrer que les droites \( \displaystyle \left(AB\right)\) et \( \displaystyle \left(DE\right)\) sont parallèles.
Question 2 : En déduire que le triangle \( \displaystyle CDE\) est rectangle en \( \displaystyle D\).
Question 2 : Calculer \( \displaystyle DE\) et \( \displaystyle AB\).
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Enoncé de l'exercice n° 2-8 : (Extrait : n°52 page - Maths 3ème - Bordas)
Dans la figure suivante, les droites \(\displaystyle \left(HK\right)\) et \(\displaystyle \left(ML\right)\) sont parallèles :
Question 1 : À l'aide du théorème de Thalès, démontrer que \(\displaystyle IH=4\).
Question 2 : À l'aide du théorème de Pythagore, calculer la longueur \(\displaystyle GI\).
Question 3 : Les triangles \(\displaystyle IHG\) et \(\displaystyle IJK\) sont semblables. Montrer que \(\displaystyle JK=1,5\).
Question 4 : À l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore, démontrer que les droites \(\displaystyle \left(IJ\right)\) et \(\displaystyle \left(JK\right)\) sont perpendiculaires.
Question 5 : En déduire que les droites \(\displaystyle \left(GH\right)\) et \(\displaystyle \left(JK\right)\) sont parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 2-9 : (Extrait : n°56 page - Maths 3ème - Bordas)
On a schématisé ci-dessous une éclipse de Soleil. Ce phénomène se produit lorsque la Lune passe entre le Soleil et la Terre et le cache entièrement :
On donne :
- distance Terre-Lune : 375000 km
- distance Terre-Soleil : 150000000 km
- rayon de la Terre : 6370 km
- rayon de la Lune : 1750 km
Question : Calculer le rayon du Soleil.
Correction de l'exercice n° 2-9 :
Question : La situation peut être schématisée de la façon suivante :
On note par \(\displaystyle T\) le centre de la Terre, \(\displaystyle L\) le centre de la Lune et \(\displaystyle S\) le centre du Soleil.
On pose \(\displaystyle A\) un point de la surface de la Lune et \(\displaystyle B\) un point de la surface du Soleil tels que les droites \(\displaystyle \left(LA\right)\) et \(\displaystyle \left(SB\right)\) soient parallèles.
Comme les deux droites \(\displaystyle \left(LA\right)\) et \(\displaystyle \left(SB\right)\) sont parallèles et que les droites \(\displaystyle \left(TB\right)\) et \(\displaystyle \left(TS\right)\) sont sécantes en \(\displaystyle T\), on utilise le théorème de Thalès. L'égalité de rapport qui nous intéresse est alors \(\displaystyle \frac{TL}{TS}=\frac{AL}{BS}\).
La distance \(\displaystyle AL\) n'est autre que le rayon de la Lune noté \(\displaystyle R_L=1750\).
La distance \(\displaystyle BS\) n'est autre que le rayon du Soleil noté \(\displaystyle R_S\).
La distance \(\displaystyle TS\) se décrit par :
\(\displaystyle \begin{align*} TS&=R_T+\text{distance Terre-Soleil}+R_S \\ &=6370+150000000+R_S \\ &=150006370+R_S \\ \end{align*} \)
La distance \(\displaystyle TL\) se décrit par :
\(\displaystyle \begin{align*} TL&=R_T+\text{distance Terre-Lune}+R_L \\ &=6370+375000+1750 \\ &=380120 \\ \end{align*} \)
Ainsi, l'égalité de Thalès devient :
\(\displaystyle \begin{align*} \frac{TL}{TS}&=\frac{AL}{BS} \\ \frac{380120}{150006370+R_S}&=\frac{1750}{R_S} \\ 380120\times R_S&=1750\times\left(150006370+R_S\right)\\ 380120\times R_S&=1750\times150006370+1750\times R_S \\ 380120\times R_S-1750\times R_S&=1750\times150006370 \\ R_S\times\left(380120-1750\right)&=1750\times150006370 \\ R_S\times378370&=1750\times150006370 \\ R_S&=\frac{1750\times150006370}{378370} \\ R_S&\simeq693795 \end{align*} \)
Le rayon du Soleil est estimé à environ 693 795 km.
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Enoncé de l'exercice n° 2-10 : (Extrait : n°57 page - Maths 3ème - Bordas)
Des élèves participent à une course à pied. Avant l'épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-dessous.
On convient que :
- Les droites \(\displaystyle \left(AE\right)\) et \(\displaystyle \left(BD\right)\) se coupent en \(\displaystyle C\).
- Les droites \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(DE\right)\) sont parallèles.
- \(\displaystyle ABC\) est un triangle rectangle en \(\displaystyle A\).
Question : Calculer la longueur réelle du parcours \(\displaystyle ABCDE\).
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