Enoncé de l'exercice n° 2-1 : (Extrait : n°10 page 203 - Maths 3ème - Bordas)
On a représenté ci-dessous une partie d'un toit :
Question 1 : Pour calculer la longueur \( \displaystyle AB\), peut-on utiliser le théorème de Thalès dans le triangle \( \displaystyle ABC\) ? Pourquoi ?
Question 2 : Calculer la longueur \( \displaystyle AB\) au sol.
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Enoncé de l'exercice n° 2-2 : (Extrait : n°27 page 206 - Maths 3ème - Bordas)
On considère la figure suivante :
On donne les mesures : \( \displaystyle DP=5\)cm ; \( \displaystyle AP=4\)cm ; \( \displaystyle PB=3\)cm et \( \displaystyle PC=3,75\)cm.
Question : Démontrer que les droites \( \displaystyle \left(AB\right)\) et \( \displaystyle \left(CD\right)\) sont parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 2-3 : (Extrait : n°28 page 206 - Maths 3ème - Bordas)
On considère la figure suivante :
On donne les mesures : \( \displaystyle AF=6\)cm ; \( \displaystyle AE=4,2\)cm ; \( \displaystyle AC=6,3\)cm et \( \displaystyle AD=9\)cm.
Question : Démontrer que les droites \( \displaystyle \left(CD\right)\) et \( \displaystyle \left(EF\right)\) sont parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 2-4 : (Extrait : n°29 page 206 - Maths 3ème - Bordas)
\( \displaystyle A\), \( \displaystyle M\) et \( \displaystyle C\) sont trois points alignés dans cet ordre tels que \( \displaystyle AM=3,5\)cm et \( \displaystyle MC=5,5\)cm.
D'autre part, les points \( \displaystyle D\), \( \displaystyle M\) et \( \displaystyle E\) sont alignés dans cet ordre tels que \( \displaystyle DM=4,5\)cm et \( \displaystyle ME=7,3\)cm
Question 1 : Réaliser une figure.
Question 2 : Démontrer que les droites \( \displaystyle \left(AD\right)\) et \( \displaystyle \left(CE\right)\) ne sont pas parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 2-5 : (Extrait : n°18 page 204 - Maths 3ème - Bordas)
Dans la figure ci-contre, \( \displaystyle \left(AB\right)//\left(MN\right)\). Un élève veut calculer la longueur \( \displaystyle AB\).
Raisonnement :
Les droites \( \displaystyle \left(MA\right)\) et \( \displaystyle \left(NB\right)\) sont sécantes en \( \displaystyle C\).
Les droites \( \displaystyle \left(AB\right)\) et \( \displaystyle \left(MN\right)\) sont parallèles.
\( \displaystyle \frac{AC}{AM}=\frac{BC}{BN}=\frac{AB}{MN}\) soit \( \displaystyle \frac{AC}{AM}=\frac{4,4}{2}=\frac{AB}{7,2}\).
Donc \( \displaystyle AB=\frac{7,2\times4,4}{2}=15,84\)cm.
Question : Que peut-on penser de son raisonnement ?
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Enoncé de l'exercice n° 2-6 : (Extrait : n°19 page 204 - Maths 3ème - Bordas)
On considère la figure ci-dessous :
Question 1 : Dans le trinagle \( \displaystyle AED\), calculer \( \displaystyle ED\).
Question 2 : Prouver que les droites \( \displaystyle \left(ED\right)\) et \( \displaystyle \left(BC\right)\) sont parallèles.
Question 2 : Calculer \( \displaystyle BC\).
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Enoncé de l'exercice n° 2-7 : (Extrait : n°32 page 207 - Maths 3ème - Bordas)
On considère la figure ci-dessous :
Question 1 : Démontrer que les droites \( \displaystyle \left(AB\right)\) et \( \displaystyle \left(DE\right)\) sont parallèles.
Question 2 : En déduire que le triangle \( \displaystyle CDE\) est rectangle en \( \displaystyle D\).
Question 2 : Calculer \( \displaystyle DE\) et \( \displaystyle AB\).
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Enoncé de l'exercice n° 2-8 : (Extrait : n°52 page - Maths 3ème - Bordas)
Dans la figure suivante, les droites \(\displaystyle \left(HK\right)\) et \(\displaystyle \left(ML\right)\) sont parallèles :
Question 1 : À l'aide du théorème de Thalès, démontrer que \(\displaystyle IH=4\).
Question 2 : À l'aide du théorème de Pythagore, calculer la longueur \(\displaystyle GI\).
Question 3 : Les triangles \(\displaystyle IHG\) et \(\displaystyle IJK\) sont semblables. Montrer que \(\displaystyle JK=1,5\).
Question 4 : À l'aide de la réciproque du théorème de Pythagore, démontrer que les droites \(\displaystyle \left(IJ\right)\) et \(\displaystyle \left(JK\right)\) sont perpendiculaires.
Question 5 : En déduire que les droites \(\displaystyle \left(GH\right)\) et \(\displaystyle \left(JK\right)\) sont parallèles.
Correction de l'exercice n° 2-8 :
Question 1 : Démontrons que \(\displaystyle IH=4\) À l'aide du théorème de Thalès :
Les droites \(\displaystyle \left(HK\right)\) et \(\displaystyle \left(ML\right)\) sont parallèles.
Les droites \(\displaystyle \left(IM\right)\) et \(\displaystyle \left(IL\right)\) sont sécantes en \(\displaystyle I\).
L'égalité des rapports qui nous intéresse ici est \(\displaystyle \frac{IH}{IM}=\frac{IK}{IL}\). Cela donne :
\(\displaystyle \begin{align*} \frac{IH}{IM}&=\frac{IK}{IL} \\ \frac{IH}{IH+IM}&=\frac{IK}{IK+KL} \\ \frac{IH}{IH+3,2}&=\frac{2,5}{2,5+2} \\ &=\frac{2,5}{4,5} \\ &=\frac{5}{9} \end{align*} \)
Avec le produit en croix, nous arrivons à :
\(\displaystyle \begin{align*} 9IH&=5\left(IH+3,2\right)\\ 9IH&=5IH+5\times3,2 \\ 9IH-5IH&=16 \\ 4IH&=16 \\ IH&=\frac{16}{4} \\ IH&=4 \\ \end{align*} \)
On conclue avec \(\displaystyle IH=4\).
Question 2 : Le triangle \(\displaystyle HGI\) est rectangle en \(\displaystyle H\). On peut donc utiliser le théorème de Pythagore :
\(\displaystyle \begin{align*} GI^2&=IH^2+HG^2\\ GI&=\sqrt{IH^2+HG^2}\\ &=\sqrt{4^2+3^2}\\ &=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{align*} \)
On conclue avec \(\displaystyle GI=5\).
Question 3 : Comme les triangles \(\displaystyle IHG\) et \(\displaystyle IJK\) sont semblables, alors leurs c\^otés sont proportionnels. Ainsi, \(\displaystyle JK=kGH\). Or, \(\displaystyle k=\frac{IJ}{IH}\) soit \(\displaystyle k=\frac{2}{4}\) d'où \(\displaystyle k=\frac{1}{2}\). Donc \(\displaystyle JK=\frac{1}{2}GH\), ce qui donne \(\displaystyle JK=\frac{1}{2}\times 3\) soit \(\displaystyle JK=1,5\).
Question 4 : Dans le triangle \(\displaystyle IJK\), le plus grand c\^oté est \(\displaystyle IK\).
\(\displaystyle \begin{align*} IK^2&=2,5^2 & IJ^2+JK^2&=2^2+1,5^2\\ &=6,25 & &=4+2,25\\ & & &=6,25 \end{align*} \)
Comme \(\displaystyle IK^2=IJ^2+JK^2\), alors d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(\displaystyle IJK\) est rectangle en \(\displaystyle J\). Par conséquent, les droites \(\displaystyle \left(IJ\right)\) et \(\displaystyle \left(JK\right)\) sont perpendiculaires.
Question 5 : Les droites \(\displaystyle \left(JK\right)\) et \(\displaystyle \left(GH\right)\) sont perpendiculaires à la m\^eme droite \(\displaystyle \left(JH\right)\). Par conséquent, les droites \(\displaystyle \left(GH\right)\) et \(\displaystyle \left(JK\right)\) sont parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 2-9 : (Extrait : n°56 page - Maths 3ème - Bordas)
On a schématisé ci-dessous une éclipse de Soleil. Ce phénomène se produit lorsque la Lune passe entre le Soleil et la Terre et le cache entièrement :
On donne :
- distance Terre-Lune : 375000 km
- distance Terre-Soleil : 150000000 km
- rayon de la Terre : 6370 km
- rayon de la Lune : 1750 km
Question : Calculer le rayon du Soleil.
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Enoncé de l'exercice n° 2-10 : (Extrait : n°57 page - Maths 3ème - Bordas)
Des élèves participent à une course à pied. Avant l'épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté par la figure ci-dessous.
On convient que :
- Les droites \(\displaystyle \left(AE\right)\) et \(\displaystyle \left(BD\right)\) se coupent en \(\displaystyle C\).
- Les droites \(\displaystyle \left(AB\right)\) et \(\displaystyle \left(DE\right)\) sont parallèles.
- \(\displaystyle ABC\) est un triangle rectangle en \(\displaystyle A\).
Question : Calculer la longueur réelle du parcours \(\displaystyle ABCDE\).
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