I) Mise en situation
L'étude du mouvement d'un objet par un observateur a été réalisé au collège. Nous rappelons ici les principales caractéristiques qui permettent de réaliser l'étude.
En classe de seconde, nous allons préciser cette étude au niveau de la vitesse, car celle-ci peut s'avérer différente, selon l'emplacement de l'observateur sur un point de la trajectoire où si l'observateur considère l'ensemble de la trajectoire.
A titre d'exemple, sur la chronophotographie suivante, pouvons-nous affirmer que la vitesse de la raquette du joueur de tennis soit la même en tout point ?
Pour aider à répondre, nous avons placer les points représentatifs de la raquette. Le schéma donne l'illustration suivante :
Nous remarquons que les points ne sont pas équidistants. Il est rapide d'affirmer ainsi que le mouvement n'est pas uniforme. Mais pouvons-nous calculer la vitesse en chaque point ? Et la vitesse sur l'ensemble de la trajectoire ?
Pour répondre à ces questions, il est nécessaire d'aborder la notion de vitesse moyenne et de vitesse instantanée.
II) Description du mouvement
La description du mouvement s'effectue avec des critères et des outils bien précis.
1) Un système pour observer
Afin de décrire un mouvement, il faut d'abord définir trois notions importantes :
- Le système : l'objet dont le mouvement est étudié.
- Un référentiel : un solide de référence par rapport auquel est observé le mouvement.
- Une horloge : elle permet de fixer une origine des temps et une durée de déplacement.
Le référentiel est modélisé par un repère et son origine. Le repère le plus utilisé au lycée est le repère de coordonnées cartésiennes, avec les trois axes : l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et l'axe des cotes.
Les études que nous produirons seront principalement réalisées dans le référentiel du laboratoire, qui est lié au référentiel terrestre. C'est un référentiel dont l'objet de référence est fixe à la surface de la Terre.
Il sera possible aussi d'utiliser le référentiel dont l'objet de référence est situé au centre de la Terre : c'est le référentiel géocentrique. Les trois axes pointent vers trois étoiles lointaines supposées fixes.
Nous pourrons enfin utiliser aussi le référentiel dont l'objet de référence est situé au centre du Soleil : le référentiel héliocentrique (appelé aussi référentiel de Copernic). Les trois axes pointent aussi vers trois étoiles lointaines supposées fixes.
2) Caractéristiques du mouvement
Pour décrire la trajectoire d'un mouvement, il faut répondre à deux caractéristiques : la nature de la trajectoire et la constance de la vitesse.
Définition : La trajectoire est l'ensemble des points qui représentent la position successive du centre de gravité de l'objet au cours du temps.
Définition : La trajectoire est dite rectiligne lorsque les points sont alignés, et elle est dite curviligne quand ils ne le sont pas. Elle est dite circulaire quand la trajectoire traduit parfaitement un cercle ou un arc de cercle.
Définition : La vitesse est le rapport entre la distance parcourue et la durée du parcours.
Propriété : La vitesse \(\displaystyle v\) se calcule par \(\displaystyle v=\dfrac{d}{t}\) avec \(\displaystyle d\), la distance parcourue en mètre (m) et \(\displaystyle t\), la durée du parcours exprimée en seconde (s). La vitesse est ainsi exprimée en mètre par seconde (m.s-1).
On rappelle que lorsque la vitesse augemente, le mouvement est dit accéléré. Si elle diminue, le mouvement est dit ralenti. Si elle ne varie pas, le mouvement est dit uniforme.
3) Relativité du mouvement
La relativité du mouvement est le fait de distinguer les caractéristiques précédentes selon la position de l'observateur. L'exemple classique est celui du passager dans le train en mouvement qui est fixe pour un observateur qui se situe aussi dans le train. Mais pour un observateur situé sur le quai, le passager aura un mouvement rectiligne doté d'une vitesse non nulle. Le mouvement est donc différent selon la position de l'observateur. D'où la nécessité importante de bien fixer les conditions de départs pour l'étude, en particulier le référentiel que l'on choisit.
III) Vecteur vitesse
Nous rentrons dans le vif du sujet en s'attardant sur la vitesse, en utilisant une nouvelle notion mathématique : le vecteur.
1) Vecteur déplacement
On considère une trajectoire sur laquelle on place deux points \(\displaystyle M\) et \(\displaystyle M'\). Pour passer de la position \(\displaystyle M\) à \(\displaystyle M'\), il faut une durée noté \(\displaystyle \Delta t\).
Définition : On appelle vecteur déplacement, le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{MM'}\) où \(\displaystyle M\) et \(\displaystyle M'\) sont les positions successives à des instants voisins séparés de \(\displaystyle \Delta t\).
Propriété : Le vecteur déplacement \(\displaystyle \overrightarrow{MM'}\) est tel que :
- sa direction est celle du segment \(\displaystyle \left[MM'\right]\)
- son sens est de \(\displaystyle M\) vers \(\displaystyle M'\)
- sa norme est la distance \(\displaystyle MM'\)
- son origine est en \(\displaystyle M\)
2) Vecteur vitesse moyenne
Le vecteur vitesse moyenne se définit de la façon suivante :
Définition : On appelle vecteur vitesse moyenne entre les points \(\displaystyle M\) et \(\displaystyle M'\) en mouvement au cours du temps \(\displaystyle t\), le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{v}=\dfrac{\overrightarrow{MM'}}{\Delta t}\).
Ici, \(\displaystyle \overrightarrow{MM'}\) est le vecteur déplacement dont la norme est exprimée en mètre (m). \(\displaystyle \Delta t\) est la durée exprimée en seconde (s) et \(\displaystyle \overrightarrow{v}\) est le vecteur vitesse moyenne dont la norme est exprimée en mètre par seconde (m.s-1).
Propriété : Le vecteur vitesse moyenne \(\displaystyle \overrightarrow{v}\) est tel que :
- sa direction est celle du segment \(\displaystyle \left[MM'\right]\)
- son sens est de \(\displaystyle M\) vers \(\displaystyle M'\)
- sa norme est égale à \(\displaystyle \left\|\overrightarrow{v}\right\|=\dfrac{MM'}{\Delta t}\)
- son origine peut être placé où on veut sur la trajectoire.
3) Vecteur vitesse instantanée
Le vecteur vitesse instantané se définit de la façon suivante :
Définition : On appelle vecteur vitesse instantané en un point \(\displaystyle M\) en mouvement au cours du temps \(\displaystyle t\), le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{v_M}=\dfrac{\overrightarrow{MM'}}{\Delta t}\).
Ici, \(\displaystyle \overrightarrow{MM'}\) est le vecteur déplacement dont la norme est exprimée en mètre (m). \(\displaystyle \Delta t\) est la durée exprimée en seconde (s) et \(\displaystyle \overrightarrow{v_M}\) est le vecteur vitesse instantané dont la norme est exprimée en mètre par seconde (m.s-1).
\(\displaystyle M'\) est très proche de \(\displaystyle M\), ainsi l'intervalle de temps \(\displaystyle \Delta t\) est très petit.
Propriété : Le vecteur vitesse moyenne \(\displaystyle \overrightarrow{v}\) est tel que :
- sa direction est celle du segment \(\displaystyle \left[MM'\right]\)
- son sens est de \(\displaystyle M\) vers \(\displaystyle M'\)
- sa norme est égale à \(\displaystyle \left\|\overrightarrow{v_M}\right\|=\dfrac{MM'}{\Delta t}\)
- son origine est en \(\displaystyle M\).
4) Cas des mouvements rectilignes
Pour un mouvement rectiligne, la trajectoire est une droite ou un segment de droite. Le vecteur vitesse, quelqu'il soit, appartient à cette droite.
Résumé des différents cas :
- Pour un mouvement rectiligne uniforme, \(\displaystyle \overrightarrow{v_M}\) est constant le long du mouvement :
- Pour un mouvement rectiligne ralenti, \(\displaystyle \overrightarrow{v_M}\) diminue le long du mouvement :
- Pour un mouvement rectiligne accéléré, \(\displaystyle \overrightarrow{v_M}\) augmente le long du mouvement :
