Enoncé de l'exercice n° 4-1 : (Extrait : n°3 page 107 livre 2nde Hachette Education)
On considère le triangle \(\displaystyle ABC\) rectangle en \(\displaystyle B\) tel que \(\displaystyle AB=5\) et \(\displaystyle BC=3\). On place un point \(\displaystyle M\) sur le segment \(\displaystyle \left[AB\right]\) et on note \(\displaystyle x\) la longueur \(\displaystyle AM\).
On appelle \(\displaystyle D\) le point d'intersection de la droite \(\displaystyle \left(AC\right)\) avec la perpendiculaire à \(\displaystyle \left(AB\right)\) passant par \(\displaystyle M\) et \(\displaystyle E\) le quatrième sommet du rectangle \(\displaystyle BMDE\).
L'objetcif est de déterminer la position de \(\displaystyle M\) qui rend l'aire de \(\displaystyle BMDE\) maximale.
Question 1 : Dans quel intervalle \(\displaystyle x\) peut-il varier ?
Question 2 : Exprimer la longueur \(\displaystyle BM\) puis la longueur \(\displaystyle DM\) en fonction de \(\displaystyle x\).
Question 3 : Exprimer l'aire \(\displaystyle A\left(x\right)\) du rectangle \(\displaystyle BMDE\) en fonction de \(\displaystyle x\).
Question 4 : Avec la calculatrice, construire la représentation graphique de \(\displaystyle A\left(x\right)\) sur l'intervalle trouvé à la question 1. Indiquer la solution du problème.
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Enoncé de l'exercice n° 4-2 : (Extrait : n°56 page 114 livre 2nde Hachette Education)
Pour signaler un danger sur la route, on utilise des troncs de cônes avec bandes blanches réfléchissantes.
Sur la figure suivante, les droites \(\displaystyle \left(AB\right) \) et \(\displaystyle \left(MN\right)\) sont parallèles. Les points \(\displaystyle O\) et \(\displaystyle O'\) sont les milieurs respectifs des segments \(\displaystyle \left[AB\right]\) et \(\displaystyle \left[MN\right]\).
On donne \(\displaystyle OO'=45\) cm ; \(\displaystyle AB=20\) cm et \(\displaystyle MN=5,5\) cm.
Question 1 : Construire une coupe du cône à l'echelle \(\displaystyle \frac{1}{4}\).
Question 2 : Démontrer que \(\displaystyle SO'=17\) cm.
Question 3 : En déduire une valeur approchée du volume du tronc de cône à 1 cm3 près.
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Enoncé de l'exercice n° 4-3 : (Extrait : n°67 page 115 livre 2nde Hachette Education)
On considère un rectangle de périmètre \(\displaystyle P=24\)cm.
Question : Déterminer sa longueur \(\displaystyle L\) et la largeur \(\displaystyle l\) de façon à ce que son aire soit maximale.
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Enoncé de l'exercice n° 4-4 : (Extrait : n°68 page 115 livre 2nde Hachette Education)
Sur une plage, un surveillant de baignade dispose d'une ligne de nage de 200 mètres de longueur ainsi que quatre bouée A, B, C et D.
Il souhaite la déployer à partir de la plage pour obtenir la zone de baignade rectangulaire la plus grande possible, c'est-à-dire ayatnt la plus grande aire.
Question : Comment doit-il placer ses bouées ?
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Enoncé de l'exercice n° 4-5 : (Extrait : n°70 page 116 livre 2nde Hachette Education)
On considère un losange \(\displaystyle ABCD\) et un point \(\displaystyle M\) quelconque sur la diagonale \(\displaystyle \left[AC\right]\).
Question : Démontrer que \(\displaystyle BM=DM\).
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Enoncé de l'exercice n° 4-6 : (Extrait : n°71 page 116 livre 2nde Hachette Education)
On considère un triangle \(\displaystyle ABC\) isocèle en \(\displaystyle A\) et les carrés \(\displaystyle ABDE\) et \(\displaystyle ACGF\) extérieurs au triangle.
Question 1 : Construire une figure.
Question 2 : Démontrer que \(\displaystyle \left(FE\right)\) et \(\displaystyle \left(BC\right)\) sont parallèles.
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Enoncé de l'exercice n° 4-7 : (Extrait : n°72 page 116 livre 2nde Hachette Education)
On considère un parallélogramme \(\displaystyle ABCD\) de centre \(\displaystyle O\).
On nomme \(\displaystyle E\) le milieu de \(\displaystyle \left[CD\right]\). La droite \(\displaystyle \left(AE\right)\) coupe \(\displaystyle \left[BD\right]\) en \(\displaystyle F\) et \(\displaystyle \left(BC\right)\) en \(\displaystyle G\).
Question 1 : Construire une figure.
Question 2 : Que représente le point \(\displaystyle F\) dans le triangle \(\displaystyle ACD\) ?
Question 3 : En déduire que \(\displaystyle EF=\frac{1}{2}FA\).
Question 4 : Montrer que \(\displaystyle E\) est le milieu de \(\displaystyle \left[AG\right]\) ?
Question 5 : En déduire que \(\displaystyle FG=4EF\).
Question 6 : Démontrer que l'égalité \(\displaystyle FA^2=EF\times GF\).
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Enoncé de l'exercice n° 4-8 : (Extrait : n°82 page 117 livre 2nde Hachette Education)
Lors d'une course, les participants doivent traverser un canal rectiligne. On suppose qu'ils le traversent à la nage perpendiculairement à ses bords.
Question : Indiquer la position où ils doivent traverser pour que la distance à parcourir entre le départ B et l'arrivée A soit minimale.
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Enoncé de l'exercice n° 4-9 : (Extrait : n°80 page 117 livre 2nde Hachette Education)
On considère le cercle \(\displaystyle \gamma\) de rayon 2cm. On place trois points \(\displaystyle B\) ; \(\displaystyle C\) et \(\displaystyle D\) sur \(\displaystyle \gamma\) tels que \(\displaystyle BC=4\) cm et \(\displaystyle \widehat{BCD}=30,7\)°.
Question 1 : Quelle est la nature du triangle \(\displaystyle BCD\) ?
Question 2 : Calculer la distance entre \(\displaystyle C\) et la droite \(\displaystyle \left(BD\right]\).
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Enoncé de l'exercice n° 4-10 : (Extrait : n°83 page 117 livre 2nde Hachette Education)
On considère la figure suivante :
Question 1 : Reproduire la figure et construire \(\displaystyle A'\) ; \(\displaystyle I'\) et \(\displaystyle B'\) les projetés orthogonaux de \(\displaystyle A\) ; \(\displaystyle I\) et \(\displaystyle B\) sur la droite \(\displaystyle \left(d'\right)\).
Question 2 : Démontrer que \(\displaystyle I'\) est le milieu de \(\displaystyle \left[A'B'\right]\).
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Enoncé de l'exercice n° 4-11 : (Extrait : n°84 page 117 livre 2nde Hachette Education)
On considère la bissectrice d'un angle formé par deux demi-droites.
Question : Montrer que tout point de cette bissectrice est équidistant aux deux demi-droites.
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Enoncé de l'exercice n° 4-12 : (Extrait : (n°93 page 119 livre 2nde Hachette Education)
On considère un triangle quelconque \(\displaystyle ABC\) et \(\displaystyle H\) le projeté orthogobal de \(\displaystyle A\) sur \(\displaystyle \left(BC\right)\).
Question 1 : Montrer que \(\displaystyle AC^2=AB^2+HC^2-BH^2\).
Question 2 : Exprimer \(\displaystyle HC\) en fonction de \(\displaystyle BC\) et de \(\displaystyle BH\).
Question 3 : Donner l'expression de \(\displaystyle \cos\left(\widehat{B}\right)\) dans le triangle \(\displaystyle ABH\).
Question 4 : Retrouver la formule d'Al-Kaschi : \(\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2-2AB\times BC\times\cos\left(\widehat{B}\right)\).
Question 5 : Dans le triangle \(\displaystyle ABC\) ci-dessous, utiliser la formule d'Al-Kashi et calculer la longueur \(\displaystyle AC\) et en donner une valeur au milimètre près.
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Enoncé de l'exercice n° 4-13 : (Extrait : n°76 page 116 livre 2nde Hachette Education)
On dispose d'un rondin de bois cylindrique de 40 cm de diamètre et d'une planche de 2m.
On souhaite déterminer la distance \(\displaystyle AH\) pour que, posée sur le rondin, l'extérmité de la planche soit élevée de 80 cm par rapport au sol :
Question 1 : Construire une vue de côté de la situation.
Question 2 : Que représentent les droites \(\displaystyle \left(AD\right)\) et \(\displaystyle \left(AC\right)\) pour le cercle de centre \(\displaystyle B\) et de rayon \(\displaystyle BH\) ?
Question 3 : Déterminer la mesure de l'angle \(\displaystyle \widehat{CAD}\) à 0,1° près.
Question 4 : Montrer que \(\displaystyle \left(AB\right)\) est la bissectrice de \(\displaystyle \widehat{CAD}\). En déduire une valeur approchée de l'angle \(\displaystyle \widehat{HAB}\)
Question 5 : Déterminer la distance \(\displaystyle AH\) recherchée.
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Enoncé de l'exercice n° 4-14 : (Extrait : n°87 page 118 livre 2nde Hachette Education)
On veut montre que les trois médianes d'un triangle sont concourante et préciser la position de leur point d'intersection.
Soit \(\displaystyle ABC\) un triangle, on not \(\displaystyle I\) et \(\displaystyle J\) les milieux des côtés \(\displaystyle \left[AB\right]\) et \(\displaystyle \left[BC\right]\).
Les médianes \(\displaystyle \left(CI\right)\) et \(\displaystyle \left(AJ\right)\) se coupent en \(\displaystyle G\).
Soit \(\displaystyle D\) le symétrique de \(\displaystyle B\) par rapport à \(\displaystyle G\).
Question 1 : Monter que \(\displaystyle \left(CI\right)\) et \(\displaystyle \left(DA\right)\) sont parallèles.
Question 2 : Montrer que \(\displaystyle GADC\) est un parallélogramme.
Question 3 : En déduire que la droite \(\displaystyle \left(BG\right)\) est la médiane issue de \(\displaystyle B\).
Question 4 : On appelle \(\displaystyle O\) le point d'intersection des droites \(\displaystyle \left(BG\right)\) et \(\displaystyle \left(AC\right)\). Montrer que \(\displaystyle BG=\dfrac{2}{3}BO\).
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Enoncé de l'exercice n° 4-15 : (Extrait : n°85 page 118 livre 2nde Hachette Education)
\(\displaystyle ABCD\) est un carré. Pour tout réel \(\displaystyle k\) de l'intervalle \(\displaystyle \left[0;1\right]\), on note \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\), \(\displaystyle P\) et \(\displaystyle Q\) les points respectifs des segments \(\displaystyle \left[AB\right]\), \(\displaystyle \left[BC\right]\), \(\displaystyle \left[CD\right]\) et \(\displaystyle \left[DA\right]\) tels que \(\displaystyle AM=BN=CP=DQ=kAB\).
Question 1 : Quelle est la nature du quadrailatère \(\displaystyle MNPQ\) ?
Question 2 : On note \(\displaystyle c\) le côté du carré \(\displaystyle ABCD\) et \(\displaystyle \alpha \) l'angle \(\displaystyle \widehat{BMN}\). Justifier que \(\displaystyle MN=c\sqrt{k^2+\left(1-k\right)^2}\) et que \(\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{k}{1-k}\).
Question 3 : On souhaite réaliser la figure à l'aide d'un programme codé en language Python. Pour cela, on utilise un logiciel et le module Torture. On propose le programme ci-dessous :
A quoi sert la fonction carree, définie entre les lignes 4 et 7 du programme ?
Question 4 : Combien mesure le côté du premier carré tracé ?
Question 5 : A quoi servent les instructions des lignes 14 et 15 du progremme ?
Question 6 : A quoi servent les instructions des lignes 13, 16 et 17 du progremme ?
Question 7 : Réaliser la figure à l'aide du programme précédent.
Question 8 : Modifier le programme de façon à reproduire 10 fois le procédé de construction et obtenir les figures suivantes :
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Enoncé de l'exercice n° 4-16 : (Extrait : Bilan n°1 page 125 livre 2nde Hachette Education)
On considère le cercle de diamètre \(\displaystyle \left[AB\right]\). \(\displaystyle D\) est un point du cercle et la droite \(\displaystyle \left(AB\right)\) est parallèle à \(\displaystyle \left(EF\right)\).
Question 1 : Quelle est la nature du triangle \(\displaystyle ABD\) ?
Question 2 : Calculer la valeur exacte de la longueur \(\displaystyle AB\).
Question 3 : Déterminer une valeur approchée de l'angle \(\displaystyle \widehat{BAD}\) au dixième près.
Question 4 : En déduire uen valeur approchée de. l'angle \(\displaystyle \widehat{BCD}\).
Question 5 : Calculer la longueur \(\displaystyle FD\).
Question 6 : Donner, sans calcul, une valeur approchée de l'angle \(\displaystyle \widehat{AEF}\).
Question 7 : Calculer la distance \(\displaystyle F\) à la droite \(\displaystyle \left(AB\right)\).
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