Enoncé de l'exercice n° 3-1 : (Extrait : n°48 page 80 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle \left(x-3\right)\left(2x+1\right)\) | \(\displaystyle 3x\left(x+1\right)+\left(4x^2-1\right)\) |
| \(\displaystyle 5x^2-\left(3x+1\right)\left(x-2\right)\) | \(\displaystyle 2x\left(x+3\right)\left(x-5\right)\) |
Question : Développer et réduire ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-2 : (Extrait : n°49 page 80 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle \left(x-3\right)^2\) | \(\displaystyle \left(2x+1\right)^2\) |
| \(\displaystyle \left(3x+4\right)\left(3x-4\right)\) | \(\displaystyle \left(4x-9\right)^2\) |
Question : Développer et réduire ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-3 : (Extrait : n°50 page 80 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}x-3\right)^2\) | \(\displaystyle \left(2x+\frac{4}{3}\right)^2\) |
| \(\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\) | \(\displaystyle \left(3x-\frac{1}{4}\right)^2\) |
Question : Développer et réduire ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-4 : (Extrait : n°51 page 80 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle 3\left(2t+5\right)^2\) | \(\displaystyle \left(x+1\right)\left(7-3x\right)^2\) |
| \(\displaystyle \left(8t+1\right)^2-\left(3t\right)^2\) | \(\displaystyle -3\left(u-1\right)^2\) |
Question : Développer et réduire ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-5 : (Extrait : n°52 page 80 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle 5\left(2x+1\right)-3\left(x+7\right)^2\) | \(\displaystyle \left(z+1\right)\left(z-1\right)+\left(1-3z\right)^2\) |
| \(\displaystyle \left(8t+1\right)^2-\left(2t-3\right)^2\) | \(\displaystyle \left(u+1\right)\left(4u-2\right)-\left(2u+7\right)\left(2u-7\right)\) |
Question : Développer et réduire ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-6 : (Extrait : n°53 page 80 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle \left(4y+5\right)^2-3\left(y+1\right)\left(y-2\right)\) | \(\displaystyle \left(y+3\right)\left(y-3\right)+3y\left(2-5y\right)\) |
| \(\displaystyle 3\left(2y-10\right)^2+\left(2y-3\right)\left(2y+3\right)\) | \(\displaystyle \left(11y+1\right)^2-\left(11y-1\right)^2\) |
Question : Développer et réduire ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-7 : (Extrait : n°54 page 80 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle \left(2x+\sqrt{7}\right)^2\) | \(\displaystyle \left(x-3\sqrt{2}\right)^2\) |
| \(\displaystyle \sqrt{3}\left(2x+\sqrt{3}\right)^2\) | \(\displaystyle \left(2x-\sqrt{5}\right)\left(2x+\sqrt{5}\right)\) |
Question : Développer et réduire ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-8 : (Extrait : n°55 page 80 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle \frac{3}{4}-2\left(3t+\frac{1}{2}\right)^2\) | \(\displaystyle \left(5x-\frac{2}{5}y\right)^2\) |
| \(\displaystyle \left(\frac{1}{3}u+1\right)\left(\frac{1}{3}u-1\right)-\frac{4}{9}u\left(1+u\right)\) |
Question : Développer et réduire ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-9 : (Extrait : n°58 page 81 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle \left(1+\sqrt{3}\right)^2\) | \(\displaystyle \left(3-2\sqrt{3}\right)\left(3+2\sqrt{3}\right)\) |
| \(\displaystyle \left(3\sqrt{3}-5\right)^2\) | \(\displaystyle \left(4\sqrt{3}+1\right)^2-\left(4\sqrt{3}-1\right)^2\) |
Question : Ecrire ces expressions sous la forme \(\displaystyle a+b\sqrt{3}\).
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Enoncé de l'exercice n° 3-10 : (Extrait : n°64 page 81 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle \left(4x+5\right)\left(x+3\right)-3\left(x+3\right)\left(x-2\right)\) | \(\displaystyle \left(x+3\right)\left(2x-3\right)-\left(2x-3\right)\) |
| \(\displaystyle \left(3y-5\right)^2+2\left(3y-5\right)\) | \(\displaystyle 8x^4-6x^3+4x^2\) |
Question : Factoriser ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-11 : (Extrait : n°65 page 81 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle x\left(2x+5\right)+\left(3x-1\right)\left(2x+5\right)\) | \(\displaystyle \left(2x+3\right)\left(x-6\right)-\left(x-6\right)^2\) |
| \(\displaystyle 4\left(3z-5\right)^2-2z\left(3z-5\right)\) | \(\displaystyle \left(3t-5\right)^2+\left(3t-5\right)\left(3t+5\right)\) |
Question : Factoriser ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-12 : (Extrait : n°68 page 81 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle x^2-10x+25\) | \(\displaystyle y^2-100\) |
| \(\displaystyle 4z^2+12z+9\) | \(\displaystyle 16-36u^2\) |
Question : Factoriser ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-13 : (Extrait : n°69 page 81 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle 36x^2-12x+1\) | \(\displaystyle 49-9t^2\) |
| \(\displaystyle 64y^2-80y+25\) | \(\displaystyle 81t^2-25y^2\) |
Question : Factoriser ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-14 : (Extrait : n°70 page 81 livre 2nde Hachette Education)
On considère les expressions littérales suivantes :
| \(\displaystyle 25-\left(3x+1\right)^2\) | \(\displaystyle \left(2x+3\right)^2-49x^2\) |
| \(\displaystyle \left(3z-5\right)^2-100\) | \(\displaystyle \left(3t-5\right)^2-\left(10-2t\right)^2\) |
Question : Factoriser ces expressions.
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Enoncé de l'exercice n° 3-15 : (Extrait : n°9 page 71 livre 2nde Hachette Education)
On considère deux nombres \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\) de même signe et les nombres \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) tels que \(\displaystyle A=\left(a-b\right)^2\) et \(\displaystyle B=a^2+b^2\).
Question : Comparer \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\).
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Enoncé de l'exercice n° 3-16 : (Extrait : n°10 page 71 livre 2nde Hachette Education)
On considère un nombre réel \(\displaystyle a\) quelconque et deux nombres \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) tels que \(\displaystyle A=a^2+1\) et \(\displaystyle B=\left(a+1\right)^2\).
Question : Comparer \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\).
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Enoncé de l'exercice n° 3-17 : (Extrait : n°11 page 71 livre 2nde Hachette Education)
On considère deux nombres \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\) tels que \(\displaystyle 0 < a < b\) et les nombres \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) tels que \(\displaystyle A=\left(a+b\right)^2\) et \(\displaystyle B=a^2+3b^2\).
Question : Comparer \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\).
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Enoncé de l'exercice n° 3-18 : (Extrait : n°12 page 71 livre 2nde Hachette Education)
On considère deux nombres \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\) strictements positifs et les nombres \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) tels que \(\displaystyle A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) et \(\displaystyle B=2\).
Question : Comparer \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\).
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Enoncé de l'exercice n° 3-19 : (Extrait : n°13 page 71 livre 2nde Hachette Education)
On considère un réel \(\displaystyle a\) tel que \(\displaystyle 0 < a < 1\) et les nombres \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) tels que \(\displaystyle A=3a^4\) et \(\displaystyle B=6a^3\).
Question 1 : Comparer \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) en utilisant le critère de quotient.
Question 2 : Comparer \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) en utilisant le critère de différence.
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Enoncé de l'exercice n° 3-20 : (Extrait : n°14 page 71 livre 2nde Hachette Education)
Soit \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\) deux réels de l'intervalle \(\displaystyle \left[1;+\infty\right[\) et \(\displaystyle A=\frac{a-1}{b-1}\) et \(\displaystyle B=\frac{a+1}{b+1}\).
Question 1 : Justifier que \(\displaystyle A-B=\frac{2\left(a-b\right)}{\left(b-1\right(\left(b+1\right)}\).
Question 2 : Comparer \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\) selon les valeurs de \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\).
Question 3 : Sans calculatrice, comparer les nombres \(\displaystyle \frac{123456788}{987654321}\) et \(\displaystyle \frac{123456790}{987654323}\).
Question 4 : Sans calculatrice, comparer les nombres \(\displaystyle \frac{9,000001}{5,000002}\) et \(\displaystyle \frac{11,000001}{7,0000002}\).
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Enoncé de l'exercice n° 3-21 : (Extrait : n°74 page 81 livre 2nde Hachette Education)
On considère les quatre équations ci-dessous :
a) \(\displaystyle \left(2x+3\right)\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)=0\)
b) \(\displaystyle 25x^2-30x+9=0\)
c) \(\displaystyle \left(3x+1\right)\left(5x-1\right)-4\left(5x-1\right)=0\)
d) \(\displaystyle \left(3x-1\right)^2-49=0\)
Question : Résoudre chaque équation.
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Enoncé de l'exercice n° 3-22 : (Extrait : n°75 page 81 livre 2nde Hachette Education)
On considère les quatre équations ci-dessous :
a) \(\displaystyle x\left(2x-5\right)=2\left(2x-5\right)\)
b) \(\displaystyle \left(5x+2\right)\left(2x-3\right)=4x^2-12x+9\)
c) \(\displaystyle 5x^2=8x\left(x+1\right)\)
d) \(\displaystyle \left(2x+1\right)^2=9\)
e) \(\displaystyle \left(4x+7\right)^2=\left(x-2\right)^2\)
f) \(\displaystyle \left(7x-2\right)^2-1=80\)
Question : Résoudre chaque équation.
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Enoncé de l'exercice n° 3-23 : (Extrait : n°88 page 83 livre 2nde Hachette Education)
On considère les deux équations ci-dessous :
a) \(\displaystyle \dfrac{2x+1}{3x-1}=0\)
b) \(\displaystyle \dfrac{\left(5x+2\right)\left(2x-3\right)}{x+2}=0\)
Question : Résoudre chaque équation.
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Enoncé de l'exercice n° 3-24 : (Extrait : n°90 page 83 livre 2nde Hachette Education)
On considère les deux équations ci-dessous :
a) \(\displaystyle \dfrac{4x+2}{2x-1}=0\)
b) \(\displaystyle \dfrac{4}{x-1}-\dfrac{2}{3-2x}=0\)
Question : Résoudre chaque équation.
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Enoncé de l'exercice n° 3-25 : (Extrait : n°91 page 83 livre 2nde Hachette Education)
On considère les deux équations ci-dessous :
a) \(\displaystyle \dfrac{4x+2}{2x-1}=0\)
b) \(\displaystyle \dfrac{4}{x-1}-\dfrac{2}{3-2x}=0\)
Pour toud réels \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) et \(\displaystyle d\) avec \(\displaystyle b\) et \(\displaystyle d\) non nuls, on a \(\displaystyle \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) si et seulement si \(\displaystyle ad=bc\).
Question : En utilisant cette propriété, résoudre chaque équation en précisant les valeurs interdites.
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Enoncé de l'exercice n° 3-26 : (Extrait : n°130 page 88 livre 2nde Hachette Education)
On considère les trois équations ci-dessous :
a) \(\displaystyle 8x^2=10x\)
b) \(\displaystyle \left(2x-3\right)^2=4x^2\)
c) \(\displaystyle 9x^2-49=\left(x-1\right)\left(3x+7\right)\)
Question : Résoudre chaque équation.
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Enoncé de l'exercice n° 3-27 : (Extrait : n°131 page 88 livre 2nde Hachette Education)
On considère les quatre équations ci-dessous :
a) \(\displaystyle \dfrac{9-x^2}{3-x}=0\)
b) \(\displaystyle 3\left(x+5\right)-2x=7\)
c) \(\displaystyle \dfrac{x+4}{3x-2}=\dfrac{10}{2x-5}\)
d) \(\displaystyle 5x^2=405\)
Question : Résoudre chaque équation.
Correction de l'exercice n° 3-27 :
Question : La résolution de chaque équation donne :
Equation a) :
\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{9-x^2}{3-x}&=0 \\ \end{align*} \)
L'équation est du type quotient nul. Ce quotient est nul si le numérateur est nul et si le dénominateur est non nul.
\(\displaystyle \begin{align*} \text{On a d'une part } 9-x^2&=0 & \text{ et d'autre part } 3-x&\neq0 \\ 3^2-x^2&=0 & -x&\neq-3 \\ \left(3-x\right)\left(3+x\right)&=0 & x&\neq3 \\ \end{align*} \)
Un produit de facteurs est nul si au moins l'un des deux est nul.
\(\displaystyle \begin{align*} \text{On a d'une part } 3-x&=0 & \text{ et d'autre part } 3+x&=0 \\ -x&=-3 & x&=-3 \\ x&3 & & \\ \end{align*} \)
L'ensemble \(\displaystyle S\) des solutions de l'équation est \(\displaystyle S=\left\{-3\right\}\) et la valeur interdite est 3
Equation b) :
\(\displaystyle \begin{align*} 3\left(x+5\right)-2x&=7 \\ 3x+15-2x&=7 \\ x&=7-15 \\ x&=-8 \\ \end{align*} \)
L'ensemble \(\displaystyle S\) des solutions de l'équation est \(\displaystyle S=\left\{-8\right\}\).
Equation c) :
Les valeurs interdites sont déterminées par le fait que chaque écriture fractionnaire doit avoir un dénominateur non nul. Ce qui implique à résdoure les équation \(\displaystyle 3x-2=0\) et \(\displaystyle 2x-5=0\). Ce qui donne les valeurs \(\displaystyle \dfrac{2}{3}\) et \(\displaystyle \dfrac{5}{2}\).
\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{x+4}{3x-2}&=\dfrac{10}{2x-5} \\ \left(x+4\right)\left(2x-5\right)&=10\left(3x-2\right)\\ 2x^2-5x+8x-20&=30x-20 \\ 2x^2-5x+8x-30x-20+20&=0 \\ 2x^2-27x&=0 \\ x\left(2x-27\right)&=0 \\ \end{align*} \)
Un produit de facteurs est nul si au moins l'un des deux est nul.
\(\displaystyle \begin{align*} \text{On a d'une part } x&=0 & \text{ et d'autre part } 2x-27&=0 \\ & & 2x&=27 \\ & & x&=\dfrac{27}{2} \\ \end{align*} \)
L'ensemble \(\displaystyle S\) des solutions de l'équation est \(\displaystyle S=\left\{0;\dfrac{27}{2}\right\}\) et les valeurs interdites sont \(\displaystyle \dfrac{2}{3}\) et \(\displaystyle \dfrac{5}{2}\).
Equation d) :
\(\displaystyle \begin{align*} 5x^2&=405 \\ 5x^2-405&=0 \\ 5\left(x^2-81\right)&=0 \\ 5\left(x^2-9^2\right)&=0 \\ 5\left(x-9\right)\left(x+9\right)&=0 \\ \end{align*} \)
Un produit de facteurs est nul si au moins l'un des deux est nul.
\(\displaystyle \begin{align*} \text{On a d'une part } x-9&=0 & \text{ et d'autre part } x+9&=0 \\ x&=9 & x&=-9 \\ \end{align*} \)
L'ensemble \(\displaystyle S\) des solutions de l'équation est \(\displaystyle S=\left\{-9;9\right\}\).
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Enoncé de l'exercice n° 3-28 : (Extrait : n°132 page 88 livre 2nde Hachette Education)
On considère les trois équations ci-dessous :
a) \(\displaystyle x^2+6x+9=2\left(x+3\right)\left(x+7\right)\)
b) \(\displaystyle 2x^2+12=30\)
c) \(\displaystyle 2x\left(x^2-4\right)=x^2-4\)
Question : Résoudre chaque équation.
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Enoncé de l'exercice n° 3-29 : (Extrait : n°133 page 88 livre 2nde Hachette Education)
On considère les quatre équations ci-dessous :
a) \(\displaystyle \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x+1}=0\)
b) \(\displaystyle \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{2-x}=\dfrac{5x}{2-x}\)
c) \(\displaystyle x\left(x+3\right)=x\left(2x-2\right)\)
d) \(\displaystyle 4x^3+9x=12x^2\)
Question : Résoudre chaque équation.
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