Olivier DAVID

Q1 L'ensemble de définition est établi à partir du fait que \(\displaystyle 1-x>0\). C'est-à-dire quand \(\displaystyle x<1\). Donc \(\displaystyle D_f=\left]-\infty;1\right[\).

Q2 La résolution de l'équation donne :

\(\displaystyle \begin{align*} 5x^2-12x&=-\left(4+4x^2\right) \\ 5x^2-12x+4+4x^2&=0 \\ 9x^2-12x+4&=0 \\ \left(3x-2\right)^2&=0 \\ 3x-2&=0 \\ 3x&=2 \\ x&=\dfrac{2}{3} \end{align*} \)

La solution de l'équation est \(\displaystyle x=\dfrac{2}{3}\).

Q3 La résolution de l'inéquation donne :

\(\displaystyle \begin{align*} f\left(x\right)&\leqslant g\left(x\right) \\ 3x-1&\leqslant -4+7x \\ 3x-7x&\leqslant -4+1 \\ -4x&\leqslant -3 \\ x&\geqslant \dfrac{3}{4} \\ \end{align*} \)

Les solution de l'inéquation sont les valeurs de \(\displaystyle x\) qui appartiennt à l'intervalle \(\displaystyle \left[\dfrac{3}{4};+\infty\right[\).

Q4 Comme \(\displaystyle A\left(1;\sqrt{2}\right)\) et \(\displaystyle B\left(1;-\sqrt{2}\right)\) alors :

\(\displaystyle \begin{align*} \left\|\overrightarrow{AB}\right\|&=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2} \\ \left\|\overrightarrow{AB}\right\|&=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)^2} \\ \left\|\overrightarrow{AB}\right\|&=\sqrt{0^2+\left(-2\sqrt{2}\right)^2} \\ \left\|\overrightarrow{AB}\right\|&=2\sqrt{2} \\ \end{align*} \)

Q5 La variable \(\displaystyle H\) est le déterminant des deux vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{u}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{v}\).

Q1 La factorisation de l'expression de la fonction \(\displaystyle f\) donne :

\(\displaystyle \begin{align*} f\left(x\right)&=1-2x+x^2 \\ f\left(x\right)&=\left(1-x\right)^2 \\ \end{align*} \)

Q2 On remarque que \(\displaystyle \dfrac{-1}{7}\begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \). Donc \(\displaystyle \overrightarrow{v}=\dfrac{-1}{7}\overrightarrow{u}\) : on a une relation de colinéarité entre les deux vecteurs donc les vecteurs sont colinéaires.

Q3 Le programme écrit sans erreur donne :

Q4 Le cercle circonscrit à un triangle s'obtient en déterminant l'emplacement de son centre : point d'intersection des trois médiatrices du triangle.

Q5 Comme \(\displaystyle A\left(-2;5\right)\) et \(\displaystyle B\left(0;-2\right)\) alors :

\(\displaystyle \begin{align*} \left\|\overrightarrow{AB}\right\|&=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2} \\ \left\|\overrightarrow{AB}\right\|&=\sqrt{\left(0+2\right)^2+\left(-2-5\right)^2} \\ \left\|\overrightarrow{AB}\right\|&=\sqrt{4+49} \\ \left\|\overrightarrow{AB}\right\|&=\sqrt{53} \\ \end{align*} \)

Q1 Le nom donné aux représentations graphiques des fonctions carrées est la parabole.

Q2 La résolution de l'équation \(\displaystyle36x^2=25\) donne :

\(\displaystyle \begin{align*} 36x^2&=25 \\ 36x^2-25&=0 \\ \left(6x\right)^2-5^2&=0 \\ \left(6x-5\right)\left(6x+5\right)&=0 \\ \end{align*} \)

Un produit de facteurs est nul si au moins l'un d'eux est nul. Ce qui amène à deux équations :

\(\displaystyle \begin{align*} 6x-5&=0 & 6x+5&=0 \\ 6x&=5 & 6x&=-5 \\ x&=\dfrac{5}{6} & x&=\dfrac{-5}{6} \\ \end{align*} \)

Les solutions de l'équation sont \(\displaystyle x\in\left\{\dfrac{-5}{6};\dfrac{5}{6}\right\}\).

Q3 Le développement de l'expression \(\displaystyle A\) donne :

\(\displaystyle \begin{align*} A&=\left(3x-\sqrt{3}\right)^2 \\ A&=\left(3x\right)^2-2\times3x\times\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2 \\ A&=9x^2-6\sqrt{3}x+3 \\ \end{align*} \)

L'expression développée de \(\displaystyle A\) est \(\displaystyle A=9x^2-6\sqrt{3}x+3\).

Q4 Le calcul de \(\displaystyle f\left(-\sqrt{2}\right)\) donne :

\(\displaystyle \begin{align*} f\left(x\right)&=1-\dfrac{1}{x^2}-x-\dfrac{1}{2} \\ f\left(-\sqrt{2}\right)&=1-\dfrac{1}{\left(-\sqrt{2}\right)^2}-\left(-\sqrt{2}\right)-\dfrac{1}{2}\\ f\left(-\sqrt{2}\right)&=1-\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\\ f\left(-\sqrt{2}\right)&=\dfrac{1}{2}+\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\\ f\left(-\sqrt{2}\right)&=\sqrt{2}\\ \end{align*} \)

Le calcul donne \(\displaystyle f\left(-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\).

Q5 Le nom donné aux représentations graphiques des fonctions inverses est l'hyperbole.

Q1 Le développement de l'expression \(\displaystyle A\) donne :

\(\displaystyle \begin{align*} A&=1-\left(x-1\right)^2 \\ A&=1-\left(x^2-2x+1\right) \\ A&=1-x^2+2x-1 \\ A&=-x^2+2x \\ \end{align*} \)

Q2 Avec deux points \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\), on forme le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\). Avec un point intermédiaire \(\displaystyle C\), on écrit la relation de Chasles : \(\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\)

Q3 Les antécédents de 0 par \(\displaystyle f\) se calculent par :

\(\displaystyle \begin{align*} f\left(x\right)&=0 \\ 9x^2-6x+1&=0 \\ \left(3x\right)^2-2\times3x+1&=0 \\ \left(3x-1\right)^2&=0 \\ 3x-1&=0 \\ 3x&=1 \\ x&=\dfrac{1}{3} \end{align*} \)

Q4 En utilisant la relation fondamentale de la trigonométrie, on obtient :

\(\displaystyle \begin{align*} \cos^2\left(\beta\right)+\sin^2\left(\beta\right)&=1 \\ \cos^2\left(\beta\right)&=1-\sin^2\left(\beta\right) \\ \cos\left(\beta\right)&=\sqrt{1-\sin^2\left(\beta\right)} \\ \cos\left(\beta\right)&=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} \\ \cos\left(\beta\right)&=\sqrt{1-\dfrac{1}{4}} \\ \cos\left(\beta\right)&=\sqrt{\dfrac{4-1}{4}} \\ \cos\left(\beta\right)&=\sqrt{\dfrac{3}{4}} \\ \cos\left(\beta\right)&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{align*} \)

Q5 Le nombre \(\displaystyle \dfrac{37}{5}\) peut s'écrire \(\displaystyle \dfrac{74}{10}\), c'est-à-dire sous la forme d'un quotient d'un nombre entier relatif et d'une puissance de 10. Par conséquent, le nombre \(\displaystyle \dfrac{37}{5}\) est un nombre décimal.

Q1 L'intervalle solution s'écrit de manière générale \(\displaystyle S=\left[c-r;c+r\right]\). Le centre \(\displaystyle c\) de l'intervalle est \(\displaystyle c=1\). Le rayon \(\displaystyle r\) de l'intervalle est \(\displaystyle r=1\). Par conséquent, les solutions de l'inéquation appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle S=\left[1-1;1+1\right]\), soit \(\displaystyle S=\left[0;2\right]\)

Q2 Il existe deux formules : \(\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\) ou bien \(\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\right)}{\cos\left(\alpha\right)}\)

Q3 Un nombre est dit premier lorsqu'il est entier et ne possède que deux diviseurs distincts.

Q4 La factorisation de l'expression \(\displaystyle A\) donne :

\(\displaystyle \begin{align*} A&=1-t^2 \\ A&=1^2-t^2 \\ A&=\left(1-t\right)\left(1+t\right) \\ \end{align*} \)

Q5 Le calcul de l'image de \(\displaystyle \dfrac{3}{2}\) par la fonction \(\displaystyle f\) donne

\(\displaystyle \begin{align*} f\left(x\right)&=\dfrac{1}{x}+x-1 \\ f\left(\dfrac{3}{2}\right)&=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}+\dfrac{3}{2}-1 \\ f\left(\dfrac{3}{2}\right)&=\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}-1 \\ f\left(\dfrac{3}{2}\right)&=\dfrac{4}{6}+\dfrac{9}{6}-\dfrac{6}{6} \\ f\left(\dfrac{3}{2}\right)&=\dfrac{7}{6} \\ \end{align*} \)

Q1 L'intervalle \(\displaystyle I\cap J\) est \(\displaystyle I\cap J=\varnothing\)

Q2 Le point d'intersection des trois médianes d'un triangle est le centre de gravité du triangle.

Q3 Le développement de l'expression \(\displaystyle A\) donne :

\(\displaystyle \begin{align*} A&=1-\left(2x-3\right)^2 \\ A&=1-\left[\left(2x\right)^2-2\times2x\times3+3^2\right] \\ A&=1-\left(4x^2-12x+9\right) \\ A&=1-4x^2+12x-9 \\ A&=-4x^2+12x-8 \\ \end{align*} \)

Q4 La factorisation de l'expression \(\displaystyle B\) donne :

\(\displaystyle \begin{align*} B&=25x^2-36y^2 \\ B&=\left(5x\right)^2-\left(6y\right)^2 \\ B&=\left(5x-6y\right)\left(5x+6y\right) \\ \end{align*} \)

Q5 Les deux mots clés sont \(\displaystyle FOR\) et \(\displaystyle WHILE\).

Q1 La simplification de l'expression C donne :

\(\displaystyle \begin{align*} C&=\left(2+3\sqrt{3}\right)^2 \\ C&=2^2+2\times2\times3\sqrt{3}+\left(3\sqrt{3}\right)^2 \\ C&=4+12\sqrt{3}+3^2\times\left(\sqrt{3}\right)^2 \\ C&=4+12\sqrt{3}+9\times3 \\ C&=4+12\sqrt{3}+27 \\ C&=31+12\sqrt{3} \\ \end{align*} \)

Q2 La factorisation de l'expression donne :

\(\displaystyle \begin{align*} A&=\left(x-1\right)\left(x-2\right)-\left(x-3\right)\left(x-1\right) \\ A&=\left(x-1\right)\left[\left(x-2\right)-\left(x-3\right)\right] \\ A&=\left(x-1\right)\left(x-2-x+3\right) \\ A&=\left(x-1\right)\times1 \\ A&=\left(x-1\right) \\ \end{align*} \)

Q3 La développement de l'expression B donne :

\(\displaystyle \begin{align*} B&=\left(5t-7\right)^2 \\ B&=\left(5t\right)^2-2\times5t\times7+7^2 \\ B&=25t^2-70t+49 \\ \end{align*} \)

Q4 La relation qui lie \(\displaystyle \alpha\) et \(\displaystyle \beta\) est \(\displaystyle \beta=2\alpha\)

Q1 Le point \(\displaystyle O\) d'intersection des trois médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Q2 La relation fondamentale de la trignométrie pour un angle \(\displaystyle \alpha\) s'écrit \(\displaystyle \cos^2\left(\alpha\right)+\sin^2\left(\alpha\right)=1\).

Q3 La factorisation de l'expression donne :

\(\displaystyle \begin{align*} A&=16x^2-1 \\ A&=\left(4x\right)^2-1^2 \\ A&=\left(4x-1\right)\left(4x+1\right) \\ \end{align*} \)

Q4 La développement de l'expression B donne :

\(\displaystyle \begin{align*} B&=\left(3x+4\right)^2 \\ B&=\left(3x\right)^2+2\times3x\times4+4^2 \\ B&=9x^2+24x+16 \\ \end{align*} \)

Q5 La simplification de l'expression C donne :

\(\displaystyle \begin{align*} C&=\left(2-2\sqrt{2}\right)^2 \\ C&=2^2-2\times2\times2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^2 \\ C&=4-8\sqrt{2}+2^2\times\left(\sqrt{2}\right)^2 \\ C&=4-8\sqrt{2}+4\times2 \\ C&=4-8\sqrt{2}+8 \\ C&=12-8\sqrt{2} \\ \end{align*} \)

Q1 Le nombre \(\displaystyle \dfrac{2,5}{5}\) peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \dfrac{25}{50}\). Il s'écrit donc sous la forme d'une fraction de deux entiers. C'est donc un rationnel.

Q2 Au départ, \(\displaystyle S=0\) et \(\displaystyle N=0\). La boucle se met en route jusqu'à ce que \(\displaystyle S < 30\). Au premier tour, \(\displaystyle S=0+10\) et \(\displaystyle N=0+1\). Au deuxième tour, \(\displaystyle S=10+10=20\) et \(\displaystyle N=1+1=2\). Au troisième tour, \(\displaystyle S=20+10=30\) et \(\displaystyle N=2+1=3\). Comme \(\displaystyle S>=30\), la boucle s'arrète et le programme affiche S=30 puis ensuite N+30.

Q3 La factorisation de l'expression donne :

\(\displaystyle \begin{align*} A&=64+25x^2-80x \\ A&=25x^2-80x+64\\ A&=\left(5x\right)^2-2\times5x\times8+8^2\\ A&=\left(5x-8\right)^2\\ \end{align*} \)

Q4 La développement de l'expression B donne :

\(\displaystyle \begin{align*} B&=\left(6-7x\right)^2 \\ B&=6^2-2\times6\times7x+\left(7x\right)^2 \\ B&=36-84x+49x^2 \\ \end{align*} \)

Q1 Le nombre 3,1415 peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \dfrac{31415}{10^4}\). Il s'écrit donc sous la forme \(\displaystyle \dfrac{a}{10^n}\) avec \(\displaystyle a\in\mathbb{R}\). C'est donc un nombre décimal.

Q2 Au départ, \(\displaystyle S=0\). Après un tour de boucle, \(\displaystyle S=10\). Après un deuxième tour, \(\displaystyle S=20\). La boucle s'arrète avant le nombre spécifique donné dans l'instruction range, c'est à dire \(\displaystyle N-1=3-1=2\). Le programme va afficher \(\displaystyle S=20\).

Q3 La factorisation de l'expression donne :

\(\displaystyle \begin{align*} A&=81+25x^2-90x \\ A&=25x^2-90x+81\\ A&=\left(5x\right)^2-2\times5x\times9+9^2\\ A&=\left(5x-9\right)^2\\ \end{align*} \)

Q4 La développement de l'expression B donne :

\(\displaystyle \begin{align*} B&=\left(7-8x\right)^2 \\ B&=7^2-2\times7\times8x+\left(8x\right)^2 \\ B&=49-112x+64x^2 \\ \end{align*} \)

Q1 La factorisation de l'expression A donne :

\(\displaystyle \begin{align*} A&=1-x^2 \\ A&=\left(1-x\right)\left(1+x\right) \\ \end{align*} \)

Q2 La traduction du langage donne :

N=INT(INPUT("Quel est le nombre ?"))

PRINT(N)

Q3 L'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cap J\) sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\left]-\infty;0\right[\).

Q5 La développement de l'expression B donne :

\(\displaystyle \begin{align*} B&=3x\left(1-x^2\right)+1 \\ B&=3x\times1-3x\times x^2+1 \\ B&=3x-3x^3+1 \\ B&=-3x^3+3x+1 \\ \end{align*} \)

Q1 Le nombre \(\displaystyle \dfrac{2,5}{2}\) peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \dfrac{25}{20}\). Le nombre \(\displaystyle \dfrac{25}{20}\) est le quotient de deux nombres entiers : c'est un rationnel. Mais le nombre peut s'écrire aussi \(\displaystyle \dfrac{25\times5}{20\times5}=\dfrac{125}{100}\) soit encore \(\displaystyle \dfrac{125}{10^2}\). C'est donc un nombre décimal.

Q2 Le programme est structuré ici en deux parties : une structure séquentielle et une structure alternative.

Q3 L'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cap J\) sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\left]0;1\right]\).

Q4 Le mot clé est WHILE

Q1 Le nombre \(\displaystyle \dfrac{1}{25}\) peut s'écrire sous la forme :

\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{1}{25}&=\dfrac{4\times1}{4\times25} \\ \dfrac{1}{25}&=\dfrac{4}{100} \\ \dfrac{1}{25}&=\dfrac{4}{10^2} \\ \end{align*} \)

Le nombre \(\displaystyle \dfrac{1}{25}\) peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \dfrac{a}{10^n}\) avec \(\displaystyle a\) un entier relatif et \(\displaystyle n\) un entier naturel : c'est donc un nombre décimal.

Q2 La résolution de l'équation donne :

\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{x}{2}-1&\geqslant x \\ \dfrac{x}{2}-x&\geqslant 1 \\ \dfrac{x-2x}{2}&\geqslant 1 \\ \dfrac{-x}{2}&\geqslant 1 \\ x&\leqslant -2 \\ \end{align*} \)

Les solutions de l'inéquation sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\left]-\infty;-2\right]\).

Q3 L'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cup J\) sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\).

Q4 Les trois identités remarquables sont :

\(\displaystyle \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(\displaystyle \left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\)

\(\displaystyle \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2 \)

Q1 Le nombre \(\displaystyle \dfrac{32}{20}\) est un décimal car il peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \dfrac{a}{10^n}\) : \(\displaystyle \dfrac{32}{20}=\dfrac{16}{10^1}\).

Q2 La résolution de l'équation donne :

\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{-3x}{2}-1&\leqslant 1 \\ \dfrac{-3x}{2}&\leqslant 1+1 \\ \dfrac{-3x}{2}&\leqslant 2 \\ -3x&\leqslant 4 \\ x&\geqslant \dfrac{4}{-3} \\ \end{align*} \)

Les solutions de l'inéquation sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\left[\dfrac{-4}{3};+\infty\right[\).

Q3 L'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cap J\) sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\left[-3;1\right]\).

Q4 Si \(\displaystyle a=2\) alors le calcul donne :

\(\displaystyle \begin{align*} \lvert a-3 \rvert&=\lvert 2-3 \rvert \\ \lvert a-3 \rvert&=\lvert -1 \rvert \\ \lvert a-3 \rvert&=1\\ \end{align*} \)

Le calcul donne 1.