Q1 Déterminer l'ensemble de définition \(\displaystyle D_f\) de la fonction \(\displaystyle f\) définie par \(\displaystyle f\left(x\right)=1-\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}-x^2-x\).
Q3 Résoudre l'équation \(\displaystyle f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)\) sachant que \(\displaystyle f\left(x\right)=3x-1\) et \(\displaystyle g\left(x\right)=-4+7x\).
Q4 Calculer la valeur exacte de \(\displaystyle \left\|\overrightarrow{AB}\right\|\) sachant que \(\displaystyle A\left(1;\sqrt{2}\right)\) et \(\displaystyle B\left(1;-\sqrt{2}\right)\).
Q5 Préciser ce que représente la variable \(\displaystyle H\) dans le programme suivant :
Q1 L'ensemble de définition est établi à partir du fait que \(\displaystyle 1-x>0\). C'est-à-dire quand \(\displaystyle x<1\). Donc \(\displaystyle D_f=\left]-\infty;1\right[\).
Les solution de l'inéquation sont les valeurs de \(\displaystyle x\) qui appartiennt à l'intervalle \(\displaystyle \left[\dfrac{3}{4};+\infty\right[\).
Q4 Comme \(\displaystyle A\left(1;\sqrt{2}\right)\) et \(\displaystyle B\left(1;-\sqrt{2}\right)\) alors :
Q5 La variable \(\displaystyle H\) est le déterminant des deux vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{u}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{v}\).
Automatisme n°13 (2nde4) du Lundi 25 mars 2024
Q1 Factoriser l'expression de la fonction \(\displaystyle f\) définie par \(\displaystyle f\left(x\right)=1-2x+x^2\).
Q2 Etudier la colinéarité des deux vecteurs \(\displaystyle \overrightarrow{u}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{v}\) tel que \(\displaystyle \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\\end{pmatrix}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ \end{pmatrix}\).
Q3 Identifier deux erreurs dans le programme suivant :
Q4 Donner le principe de construction d'un cercle circonscrit à un triangle noté \(\displaystyle ABC\).
Q5 Calculer la valeur exacte de \(\displaystyle \left\|\overrightarrow{AB}\right\|\) sachant que \(\displaystyle A\left(-2;5\right)\) et \(\displaystyle B\left(0;-2\right)\).
Q1 La factorisation de l'expression de la fonction \(\displaystyle f\) donne :
Q2 On remarque que \(\displaystyle \dfrac{-1}{7}\begin{pmatrix} -7 \\ 21 \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} \). Donc \(\displaystyle \overrightarrow{v}=\dfrac{-1}{7}\overrightarrow{u}\) : on a une relation de colinéarité entre les deux vecteurs donc les vecteurs sont colinéaires.
Q3 Le programme écrit sans erreur donne :
Q4 Le cercle circonscrit à un triangle s'obtient en déterminant l'emplacement de son centre : point d'intersection des trois médiatrices du triangle.
Q5 Comme \(\displaystyle A\left(-2;5\right)\) et \(\displaystyle B\left(0;-2\right)\) alors :
Le calcul donne \(\displaystyle f\left(-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\).
Q5 Le nom donné aux représentations graphiques des fonctions inverses est l'hyperbole.
Automatisme n°11 (2nde4) du Lundi 05 février 2024
Q1 Développer et réduire l'expression \(\displaystyle A=1-\left(x-1\right)^2\).
Q2 Ecrire la relation de Chasles à partir d'un vecteur formé de deux points quelconques et un autre point intermédiaire.
Q3 Déterminer les antécédents de 0 par la fonction \(\displaystyle f\) définie sur \(\displaystyle \mathbb{R}\) par \(\displaystyle f\left(x\right)=9x^2-6x+1\)
Q4 Déterminer la valeur exacte de \(\displaystyle \cos\left(\beta\right)\) sachant que \(\displaystyle \sin\left(\beta\right)=\dfrac{1}{2}\).
Q5 Justifier que le nombre \(\displaystyle \dfrac{37}{5}\) soit un nombre décimal.
Q1 Le développement de l'expression \(\displaystyle A\) donne :
Q2 Avec deux points \(\displaystyle A\) et \(\displaystyle B\), on forme le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\). Avec un point intermédiaire \(\displaystyle C\), on écrit la relation de Chasles : \(\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\)
Q3 Les antécédents de 0 par \(\displaystyle f\) se calculent par :
Q5 Le nombre \(\displaystyle \dfrac{37}{5}\) peut s'écrire \(\displaystyle \dfrac{74}{10}\), c'est-à-dire sous la forme d'un quotient d'un nombre entier relatif et d'une puissance de 10. Par conséquent, le nombre \(\displaystyle \dfrac{37}{5}\) est un nombre décimal.
Q5 Calculer l'image de \(\displaystyle \dfrac{3}{2}\) par la fonction \(\displaystyle f\) définie sur \(\displaystyle D_f=\left]0;4\right]\) par \(\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+x-1\).
Q1 L'intervalle solution s'écrit de manière générale \(\displaystyle S=\left[c-r;c+r\right]\). Le centre \(\displaystyle c\) de l'intervalle est \(\displaystyle c=1\). Le rayon \(\displaystyle r\) de l'intervalle est \(\displaystyle r=1\). Par conséquent, les solutions de l'inéquation appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle S=\left[1-1;1+1\right]\), soit \(\displaystyle S=\left[0;2\right]\)
Q2 Il existe deux formules : \(\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\) ou bien \(\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\right)}{\cos\left(\alpha\right)}\)
Q3 Un nombre est dit premier lorsqu'il est entier et ne possède que deux diviseurs distincts.
Q4 La factorisation de l'expression \(\displaystyle A\) donne :
Q1 \(\displaystyle I\) et \(\displaystyle J\) sont deux intervalles tels que \(\displaystyle I=\left[-3;+\infty\right[\) et \(\displaystyle J=\left]-\infty;-3\right[\). Déterminer \(\displaystyle I\cap J\).
Q2 Donner ce que représente le point d'intersection des trois médianes d'un triangle.
Q5 Les deux mots clés sont \(\displaystyle FOR\) et \(\displaystyle WHILE\).
Automatisme n°8 (2nde4) du Lundi 11 décembre 2023
Q1 Simplifier l'expression \(\displaystyle C=\left(2+3\sqrt{3}\right)^2\) sous la forme \(\displaystyle a+b\sqrt{3}\) où \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\) sont deux nombres entier relatifs.
Q3 Développer l'expression \(\displaystyle B=\left(5t-7\right)^2\) à l'aide d'une identité remarquable.
Q4 Dans un cercle, on note \(\displaystyle \alpha\) l'angle qui intercepte le même arc de cercle qu'un angle au centre noté \(\displaystyle \beta\). Ecrire la relation qui lie \(\displaystyle \alpha\) et \(\displaystyle \beta\).
Q4 La relation qui lie \(\displaystyle \alpha\) et \(\displaystyle \beta\) est \(\displaystyle \beta=2\alpha\)
Automatisme n°7 (2nde4) du Jeudi 30 novembre 2023
Q1 On considère un triangle quelconque. Les trois médiatrices du triangle sont concourantes en un point \(\displaystyle O\). Préciser ce que représente le point \(\displaystyle O\) pour le triangle.
Q2 Ecrire la relation fondamentale de la trigonométrie pour un angle \(\displaystyle \alpha\) quelconque réel.
Q4 Développer l'expression \(\displaystyle B=\left(3x+4\right)^2\) à l'aide d'une identité remarquable.
Q5 Simplifier l'expression \(\displaystyle C=\left(2-2\sqrt{2}\right)^2\) sous la forme \(\displaystyle a+b\sqrt{2}\) où \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\) sont deux nombres entier relatifs.
Q1 Le point \(\displaystyle O\) d'intersection des trois médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Q2 La relation fondamentale de la trignométrie pour un angle \(\displaystyle \alpha\) s'écrit \(\displaystyle \cos^2\left(\alpha\right)+\sin^2\left(\alpha\right)=1\).
Q1 Le nombre \(\displaystyle \dfrac{2,5}{5}\) peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \dfrac{25}{50}\). Il s'écrit donc sous la forme d'une fraction de deux entiers. C'est donc un rationnel.
Q2 Au départ, \(\displaystyle S=0\) et \(\displaystyle N=0\). La boucle se met en route jusqu'à ce que \(\displaystyle S < 30\). Au premier tour, \(\displaystyle S=0+10\) et \(\displaystyle N=0+1\). Au deuxième tour, \(\displaystyle S=10+10=20\) et \(\displaystyle N=1+1=2\). Au troisième tour, \(\displaystyle S=20+10=30\) et \(\displaystyle N=2+1=3\). Comme \(\displaystyle S>=30\), la boucle s'arrète et le programme affiche S=30 puis ensuite N+30.
Q1 Le nombre 3,1415 peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \dfrac{31415}{10^4}\). Il s'écrit donc sous la forme \(\displaystyle \dfrac{a}{10^n}\) avec \(\displaystyle a\in\mathbb{R}\). C'est donc un nombre décimal.
Q2 Au départ, \(\displaystyle S=0\). Après un tour de boucle, \(\displaystyle S=10\). Après un deuxième tour, \(\displaystyle S=20\). La boucle s'arrète avant le nombre spécifique donné dans l'instruction range, c'est à dire \(\displaystyle N-1=3-1=2\). Le programme va afficher \(\displaystyle S=20\).
Q2 Traduire en langage Python l'algorithme écrit en pseudo code :
Demander un nombre entier naturel
N <-- reponse
Afficher N
Q3 On considère deux intervalles \(\displaystyle I\) et \(\displaystyle J\) tels que \(\displaystyle I=\mathbb{R}^*\) et \(\displaystyle J=\left]-\infty;0\right]\). Donner l'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cap J\).
Q3 L'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cap J\) sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\left]-\infty;0\right[\).
Q1 On considère le nombre \(\displaystyle \dfrac{2,5}{2}\). Préciser en justifiant si ce nombre est un décimal, un rationnel ou un réel.
Q2 On considère le programme suivant :
Indiquer la nature des structures identifiées dans ce programme.
Q3 On considère deux intervalles \(\displaystyle I\) et \(\displaystyle J\) tels que \(\displaystyle I=\mathbb{R}\) et \(\displaystyle J=\left]0;1\right]\). Donner l'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cap J\).
Q4 Donner la traduction en langage python du principal mot clé d'une boucle itérative conditionnelle.
Q1 Le nombre \(\displaystyle \dfrac{2,5}{2}\) peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \dfrac{25}{20}\). Le nombre \(\displaystyle \dfrac{25}{20}\) est le quotient de deux nombres entiers : c'est un rationnel. Mais le nombre peut s'écrire aussi \(\displaystyle \dfrac{25\times5}{20\times5}=\dfrac{125}{100}\) soit encore \(\displaystyle \dfrac{125}{10^2}\). C'est donc un nombre décimal.
Q2 Le programme est structuré ici en deux parties : une structure séquentielle et une structure alternative.
Q3 L'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cap J\) sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\left]0;1\right]\).
Q4 Le mot clé est WHILE
Automatisme n°2 (2nde4) du Lundi 25 septembre 2023
Q1 On considère le nombre \(\displaystyle \dfrac{1}{25}\). Préciser en justifiant si ce nombre est un décimal.
Q3 On considère deux intervalles \(\displaystyle I\) et \(\displaystyle J\) tels que \(\displaystyle I=\left]-1;+\infty\right[\) et \(\displaystyle J=\left]-\infty;1\right]\). Donner l'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cup J\).
Q4 Ecrire les trois identités remarquables.
Q1 Le nombre \(\displaystyle \dfrac{1}{25}\) peut s'écrire sous la forme :
Le nombre \(\displaystyle \dfrac{1}{25}\) peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \dfrac{a}{10^n}\) avec \(\displaystyle a\) un entier relatif et \(\displaystyle n\) un entier naturel : c'est donc un nombre décimal.
Les solutions de l'inéquation sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\left]-\infty;-2\right]\).
Q3 L'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cup J\) sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\mathbb{R}\).
Q3 On considère deux intervalles \(\displaystyle I\) et \(\displaystyle J\) tels que \(\displaystyle I=\left[-3;2\right[\) et \(\displaystyle J=\left]-\infty;1\right]\). Donner l'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cap J\).
Q4 On considère un nombre réel \(\displaystyle a\). Calculer \(\displaystyle \lvert a-3 \rvert\) quand \(\displaystyle a=2\).
Q1 Le nombre \(\displaystyle \dfrac{32}{20}\) est un décimal car il peut s'écrire sous la forme \(\displaystyle \dfrac{a}{10^n}\) : \(\displaystyle \dfrac{32}{20}=\dfrac{16}{10^1}\).
Les solutions de l'inéquation sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\left[\dfrac{-4}{3};+\infty\right[\).
Q3 L'ensemble des réels qui appartiennent à l'intervalle \(\displaystyle I\cap J\) sont les réels \(\displaystyle x\) tels que \(\displaystyle x\in\left[-3;1\right]\).
Q4 Si \(\displaystyle a=2\) alors le calcul donne :