La Terre de masse \( \displaystyle M_T\) et de rayon \( \displaystyle R_T\) agit sur un corps de masse \( \displaystyle m\) situé à un altidute \( \displaystyle z\) avec une force d'attraction \( \displaystyle F_{T\rightarrow C}\) d'expression \( \displaystyle F_{T\rightarrow C}=G\dfrac{mM_T}{\left(R_T+z\right)^2}\).
Cette force d'attraction \( \displaystyle F\) est exprimée en fonction de plusieurs facteurs ou paramètres qui peuvent varier selon les situations étudiées. Dans la plupart des cas au lycée, un seul paramètre varie et il est appelé la variable.
Dans notre cas, si l'altitude est amenée à varier, alors le paramètre \( \displaystyle z\) est considéré comme la variable.
Il serait aussi possible d'envisager qu'au fur et à mesure que l'altitude évolue, la masse du corps évolue en considérant par exemple que celui s'agisse d'une fusée dont le carburant serait amené à diminuer. Nous sommes alors dans un cas où le paramètre \( \displaystyle m\) est aussi une variable.
Il devient alors important de remarquer les paramètres et les variables dans une expression littérale. Aussi, il est important de savoir exprimer un paramètre en fonction des autres. Pour cela, il existe plusieurs règles de transformation d'expression littérale et de règles de calcul à bien maitriser pour traiter les problèmes rencontrés en sciences physiques et notamment en mathématiques.
Avant de les rappeler, considérons l'activité suivante : activité n°3
Avant d'entamer toute transformation, il est important de reconnaitre la forme de départ de l'expression. Pour des commodités de lectures, dans chacune des expressions littérales de ce cours, nous appelerons par \( \displaystyle x\) la variable étudiée et une seule sera étudiée.
Une expression littérale qui comportent des termes, qui sont donc liés par des opérations d'addition et de soustraction, est dite forme développée d'une expression.
Exemple : Les expressions suivantes sont écrites sous formes développées :
• \( \displaystyle 3x^2-5x+2\)
• \( \displaystyle 1-3\left(1-x\right)^2\)
• \( \displaystyle 7x^3-\dfrac{5x+2}{x-1}\) pour \( \displaystyle x\neq1\)
Une expression littérale qui comportent des facteurs, qui sont donc liés par des opérations de multiplication et de division, est dite forme factorisée d'une expression.
Exemple : Les expressions suivantes sont écrites sous formes factorisée :
• \( \displaystyle 7x\left(2x+1\right)\)
• \( \displaystyle \left(1-x\right)^2\)
• \( \displaystyle \dfrac{2x+5}{3x-7}\) pour \( \displaystyle x\neq\dfrac{7}{3}\)
Définition : On appelle identité, une égalité qui est vraie quelles que soient les valeurs données aux différents paramètres qui interviennent.
Exemple : Supposons qu'une expression \( \displaystyle A\) s'ecrive \( \displaystyle A=2x\left(5x+6\right)\). Cette expression peut s'écrire aussi \( \displaystyle A=10x^2+12x\). On peut alors écrire que \( \displaystyle 2x\left(5x+6\right)=10x^2+12x\). Cette égalité est vraie quelques soient les valeurs de \( \displaystyle x\). L'égalité \( \displaystyle 2x\left(5x+6\right)=10x^2+12x\) est donc appelée une identité.
Le développement d'une expression littérale est une transformation de celle-ci pour passer de la forme factorisée à la forme développée, et ce par les propriétés suivantes :
Propriété (admise) : Pour tout nombre \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\), \( \displaystyle c\) et \( \displaystyle d\), on a les identités suivantes :
\( \displaystyle k\left(a+b\right)=ka+kb\)
\( \displaystyle k\left(a-b\right)=ka+kb\)
\( \displaystyle \left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd\).
Exemple : L'expression \( \displaystyle A=7\left(2x-3\right)\) se développe en \( \displaystyle A=7\times2x-7\times3\) pour donner \( \displaystyle A=14x-21\).
Propriété (admise) : Pour tout nombre \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\), on a les identités suiavntes (dites remarquables) :
\( \displaystyle \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)
\( \displaystyle \left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\)
\( \displaystyle \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2\).
Exemple : L'expression \( \displaystyle A=\left(2x-3\right)^2\) se développe en \( \displaystyle A=\left(2x\right)^2-2\times2x\times3+3^2\) pour donner \( \displaystyle A=4x^2-12x+9\).
La factorisation d'une expression littérale est une transformation de celle-ci pour passer de la forme développée à la forme factorisée, et ce par les propriétés suivantes :
Propriété (admise) : Pour tout nombre \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\), \( \displaystyle c\) et \( \displaystyle d\), on a les identités suivantes :
\( \displaystyle ka+kb=k\left(a+b\right)\)
\( \displaystyle ka+kb=k\left(a-b\right)\)
\( \displaystyle ac+ad+bc+bd=\left(a+b\right)\left(c+d\right)\).
Exemple : L'expression \( \displaystyle A=14x-21\) se factorise en \( \displaystyle A=7\times2x-7\times3\) pour donner \( \displaystyle A=7\left(2x-3\right)\).
Propriété (admise) : Pour tout nombre \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\), on a les identités suivantes (dites remarquables) :
\( \displaystyle a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2\)
\( \displaystyle a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\)
\( \displaystyle a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\).
Exemple : L'expression \( \displaystyle A=4x^2-12x+9\) s'écrit en \( \displaystyle A=\left(2x\right)^2-2\times2x\times3+3^2\) et se factorise en \( \displaystyle A=\left(2x-3\right)^2\).
En sciences, on rencontre souvent des expressions littérales avec des écritures fractionnaires comme le témoigne la formule de la force de gravitation exposée en début de cette séquence. Il est ainsi important de connaître quelques propriétés de calculs :
Propriété (admise) : Pour tout réel \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\) et \( \displaystyle k\) avec \( \displaystyle b\neq0\) et \( \displaystyle k\neq0\), on a \( \displaystyle \dfrac{a}{b}=\dfrac{ka}{kb}\) et \( \displaystyle \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div k}{b\div k}\).
Propriété (admise) : Pour tout réel \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\), \( \displaystyle c\) et \( \displaystyle d\) avec \( \displaystyle c\neq0\) et \( \displaystyle d\neq0\), on a :
\( \displaystyle \dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{d}\)
\( \displaystyle \dfrac{a}{d}-\dfrac{b}{d}=\dfrac{a-b}{d}\)
\( \displaystyle \dfrac{a}{c}\times\dfrac{b}{d}=\dfrac{a\times b}{c\times d}\)
Pour additionner ou soustraire deux quotients, on les réduits préalablement au même dénominateur.
Exemple : Pour tout réel \( \displaystyle x\) distincts de \( \displaystyle 0\) et \( \displaystyle \dfrac{-1}{3}\), on a les égalités :
\( \displaystyle \begin{align*} \dfrac{7}{x}-\dfrac{5-x}{3x+1}&=\dfrac{7\times\left(3x+1\right)}{x\times\left(3x+1\right)}-\dfrac{x\times\left(5-x\right)}{x\times\left(3x+1\right)}\\ &=\dfrac{21x+7}{x\left(3x+1\right)}-\dfrac{5x-x^2}{x\left(3x+1\right)}\\ &=\dfrac{21x+7-\left(5x-x^2\right)}{x\left(3x+1\right)}\\ &=\dfrac{21x+7-5x+x^2}{x\left(3x+1\right)}\\ &=\dfrac{x^2+16x+7}{x\left(3x+1\right)}\\ \end{align*} \)
Ces égalités ne sont pas vérifiées pour \( \displaystyle x=0\). La valeur 0 est appelée valeur interdite. Il en est de même pour \( \displaystyle x=\dfrac{1}{3}\).
Propriété (admise) : Pour tout réel \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\), \( \displaystyle c\) et \( \displaystyle d\) avec \( \displaystyle b\neq0\), \( \displaystyle c\neq0\) et \( \displaystyle d\neq0\), on a \( \displaystyle \dfrac{a}{c}\div\dfrac{b}{d}=\dfrac{a}{c}\times\dfrac{d}{b}\).
Exemple :
\( \displaystyle \begin{align*} \dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{7}&=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{7}{5}\\ &=\dfrac{2\times7}{3\times5}\\ &=\dfrac{21}{15}\\ \end{align*} \)
Manipuler des expressions littérales impose de connaître certaines règles de calculs.
Les sciences amènent souvent aussi à comparer des résultats. On donne alors la définition et la propriété suivante :
Définition : Etant donnés \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\) deux nombres réels. On dit que \( \displaystyle a\) est strictement supérieur à \( \displaystyle b\) et on note \( \displaystyle a>b\) lorsque \( \displaystyle a-b>0\). Ainsi \( \displaystyle a>b\Leftrightarrow a-b>0\).
On donne la même définition avec \( \displaystyle a < b \).
Propriété : Pour comparer les nombres \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\), on peut utiliser deux critères.
Critère de la différence : on étudie le signe de la différence \( \displaystyle a-b\) : si \( \displaystyle a-b < 0\) alors \( \displaystyle a < b\) et si \( \displaystyle a-b > 0\) alors \( \displaystyle a > b\).
Critère du quotient (si \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\) sont strictement positifs) : si \( \displaystyle \dfrac{a}{b} < 1\) alors \( \displaystyle a < b\) et si \( \displaystyle \dfrac{a}{b} > 1\) alors \( \displaystyle a > b\).
Démonstration à savoir : Soit \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\) deux réels strictement positif tels que \(\displaystyle\dfrac{a}{b} < 1\). En multipliant chaque membre par \( \displaystyle b\), le sens de l'inégalité est conservé d'où \( \displaystyle \dfrac{a}{b}\times b < 1\times b\) soit \( \displaystyle a < b\).
Exemple avec le critère de différence : On considère un nombre \( \displaystyle a<0\) et on souhaite comparer \( \displaystyle A=\left(5a+2\right)^2\) et \( \displaystyle B=25a^2+4\). On étudie le signe de la différence et on obtient :
\( \displaystyle \begin{align*} A-B&=\left(5a+2\right)^2-\left(25a^2+4\right) \\ A-B&=25a^2+20a+4-25a^2-4 \\ A-B&=20a \end{align*} \)
Puisque \( \displaystyle a<0\) alors \( \displaystyle 20a < 0\) donc \( \displaystyle A < B\).
Exemple avec le critère du quotient : On considère un nombre \( \displaystyle x\) tel que \( \displaystyle 0
\( \displaystyle
\begin{align*}
\dfrac{D}{C}&=\dfrac{x^3}{x^2} \\
\dfrac{D}{C}&=x
\end{align*}
\)
Puisque \( \displaystyle \dfrac{D}{C}=x\) et que \( \displaystyle x < 1\) donc \( \displaystyle \dfrac{D}{C} < 1\) et on a finalement \( \displaystyle D < C\) ou encore \( \displaystyle x^3 < x^2\). On rappelle ici les propriétés de calculs liées aux puissances entières relatives : Définition : Soit \( \displaystyle a\) un nombre réel et \( \displaystyle n\) un entier. Si \( \displaystyle n=0\) et \( \displaystyle a\neq0\), alors \( \displaystyle a^n=1\) Si \( \displaystyle n=1\) alors \( \displaystyle a^1=1\) Pour \( \displaystyle n\leqslant2\), \( \displaystyle a^n=a\times a\times \text{...} \times a\) Pour \( \displaystyle n\leqslant 1\) et \( \displaystyle a\neq0\), \( \displaystyle a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\). Règle : \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\) sont des réels non nuls, \( \displaystyle n\) et \( \displaystyle p\) deux entiers relatifs. Alors : \( \displaystyle a^n\times a^p=a^{n+p}\) \( \displaystyle a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\) \( \displaystyle \dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}\) \( \displaystyle \left(a^n\right)^p=a^{np}\) \( \displaystyle \left(ab\right)^n=a^nb^n\) \( \displaystyle\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\). Exemples : • \( \displaystyle x^2x^3=x^5\) • \( \displaystyle x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}\) • \( \displaystyle \dfrac{x^7}{x^3}=x^4\) • \( \displaystyle \left(x^3\right)^2=x^6\) On rappelle ici les propriétés de calculs liées aux racines carrées : Règle : \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\) sont des réels positifs. Alors : \( \displaystyle \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\) \( \displaystyle \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) si \( \displaystyle b\neq0\). Exemples : • \( \displaystyle \sqrt{14}=\sqrt{2}\times\sqrt{7}\) • \( \displaystyle \sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) Dans les expressions littérales, des termes ou facteurs sont connus. Ils sont appelés des paramètres. Ceux dont ne connait pas la valeur sont appelés des inconnues On définit alors l'équation de la façon suivante : Définition : Une équation d'inconnue \( \displaystyle x\) est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu \( \displaystyle x\). Résoudre dans un ensemble \( \displaystyle E\) une telle equation, c'est déterminer toutes les valeurs de \( \displaystyle x\) appartenant à \( \displaystyle E\) qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs sont les solutions dans \( \displaystyle E\) de l'équation. On dit que deux équations sont équivalentes lorsqu'elles ont les mêmes solutions. Propriété (admise) : Les manipulations algébriques suivantes transforment une équation en une équation équivalente. 1- Ajouter (ou soustraire) un même nombre aux deux membres d'une équation. 2- Multiplier (ou diviser) les deux membres d'une équation par un même nombre non nul. 3- Développer, fractoriser, réduire l'un des deux membres de l'équation. Propriété (admise) : Règle du produit nul : un produit de deux nombres réels est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul. Autrement dit, on a l'équivalence : \( \displaystyle A\left(x\right)\times B\left(x\right)=0 \Leftrightarrow A\left(x\right)=0 \text{ ou } B\left(x\right)=0\). Propriété (admise) : Règle du quotient nul : un quotient de deux nombres réels est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul. Autrement dit, on a l'équivalence : \( \displaystyle \dfrac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}=0 \Leftrightarrow A\left(x\right)=0 \text{ et } B\left(x\right)\neq0\). Exemple : Voir les nombreux exercices en séances d'exercices.2) Les puissances entières relatives
3) Les racines carrées
V) Equations et inéquations