Enoncé :
On considère deux droites \( \displaystyle \left(AB\right)\) et \( \displaystyle \left(AC\right)\) sécantes en \( \displaystyle A\). Les points \( \displaystyle A\), \( \displaystyle D\) et \( \displaystyle C\) sont alignés dans le même ordre que les points \( \displaystyle A\), \( \displaystyle E\) et \( \displaystyle B\). La situation est schématisée de la façon suivante :
On donne \( \displaystyle AD=4\) cm ; \( \displaystyle AC=14\) cm ; \( \displaystyle AE=6\) cm et \( \displaystyle AB=20\)
Question :
Montrer que les droites \( \displaystyle \left(DE\right)\) et \( \displaystyle \left(BC\right)\) ne sont pas parallèles.
Rédaction type :
Les droites \( \displaystyle \left(AB\right)\) et \( \displaystyle \left(AC\right)\) sont sécantes en \( \displaystyle A\). Les points \( \displaystyle A\), \( \displaystyle D\) et \( \displaystyle C\) sont alignés dans le même ordre que les points \( \displaystyle A\), \( \displaystyle E\) et \( \displaystyle B\). On peut donc utiliser la conséquence du théorème de Thalès :
\( \displaystyle \begin{align*} \text{On a d'une part }\frac{AD}{AC}&=\frac{4}{14} & \text{ et d'autre part }\frac{AE}{AB}&=\frac{6}{20} \\ &=\frac{2}{7} & &=\frac{3}{10} \end{align*} \)
On remarque que \( \displaystyle \frac{AD}{AC}\neq\frac{AE}{AB}\), alors d'après la conséquence du théorème de Thalès, les droites \( \displaystyle \left(DE\right)\) et \( \displaystyle \left(BC\right)\) ne sont pas parallèles.