Enoncé :
On considère deux droites \( \displaystyle \left(AB\right)\) et \( \displaystyle \left(AC\right)\) sécantes en \( \displaystyle A\). Les points \( \displaystyle A\), \( \displaystyle D\) et \( \displaystyle C\) sont alignés dans le même ordre que les points \( \displaystyle A\), \( \displaystyle E\) et \( \displaystyle B\). La situation est schématisée de la façon suivante :
On donne \( \displaystyle AD=4\) cm ; \( \displaystyle AC=14\) cm ; \( \displaystyle AE=6\) cm et \( \displaystyle AB=21\)
Question :
Montrer que les droites \( \displaystyle \left(DE\right)\) et \( \displaystyle \left(BC\right)\) sont parallèles.
Rédaction type :
Les droites \( \displaystyle \left(AB\right)\) et \( \displaystyle \left(AC\right)\) sont sécantes en \( \displaystyle A\). Les points \( \displaystyle A\), \( \displaystyle D\) et \( \displaystyle C\) sont alignés dans le même ordre que les points \( \displaystyle A\), \( \displaystyle E\) et \( \displaystyle B\). On peut donc utiliser la réciproque du théorème de Thalès :
\( \displaystyle \begin{align*} \text{On a d'une part }\frac{AD}{AC}&=\frac{4}{14} & \text{ et d'autre part }\frac{AE}{AB}&=\frac{6}{21} \\ &=\frac{2}{7} & &=\frac{2}{7} \end{align*} \)
On remarque que \( \displaystyle \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\), alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \( \displaystyle \left(DE\right)\) et \( \displaystyle \left(BC\right)\) sont parallèles.