Nous avons vu dans la séquence n°3 le calcul littéral qui consiste à calculer ou transformer des expressions avec des paramètres ou des variables.
Prenons l'exemple d'une expression noté \(\displaystyle v\) qui permet de calculer la vitesse de rotation d'un satellite par la formule \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\). En connaissant les valeurs de \(\displaystyle G\), \(\displaystyle M\) et de \(\displaystyle r\), il est aisé de calculer la valeur de \(\displaystyle v\). Mais quand est-il lorsqu'on demande de calculer le paramètre \(\displaystyle r\) ou \(\displaystyle M\) en connaissant \(\displaystyle v\).
Voyons ce type d'exemple dans l'activité : activité n°8
Lorsque nous avons une expression ou une égalité dans laquelle un ou plusieurs paramètres sont inconnus, l'égalité est appelé une équation. Chercher la ou les solutions de l'équation s'appelle résoudre une équation.
Selon la complexité et le nombre d'inconnus dans l'équation, il existe différentes méthodes. En classe de troisième, nous voyons les équations du 1er degré avec une seule inconnue.
Pour résoudre une équation, il est nécessaire de connaitre la propriété suivante :
Propriété : Lorsqu'on développe, réduit, factorise chacun des membres d'une équation, les solutions ne changent pas.
Exemple : L'équation \(\displaystyle 7x-5=4\left(1-5x\right)\) est la même équation et donne les mêmes solutions que \(\displaystyle 7x-5=4-20x\).
Propriété : Lorsqu'on additionne ou on soustrait chacun des membres d'une équation par un même nombre, les solutions ne changent pas.
Exemple : L'équation \(\displaystyle 7x-5=4-20x\) est la même équation et donne les mêmes solutions que \(\displaystyle 7x-5+20x=4-20x+20x\).
Propriété : Lorsqu'on multiplie ou on divise chacun des membres d'une équation par un même nombre, les solutions ne changent pas.
Exemple : L'équation \(\displaystyle 27x=9\) est la même équation et donne les mêmes solutions que \(\displaystyle \frac{27x}{27}=\frac{9}{27}\).
Certaines équations peuvent s'écrire sous forme d'un produit du type « \(\displaystyle A\times B\) ». Il est dit nul lorsqu'on a \(\displaystyle A\times B=0\). Pour résoudre une telle équation, on utilise la propriété suivante :
Propriété : Un produit de facteurs est nul si au moins l'un des deux est nul.
Exemple : L'équation \(\displaystyle \left(3x-1\right)\left(2x+4\right)=0\) se résout de la façon suivante :
On cite la propriété : « Un produit de facteurs est nul si au moins l'un des deux est nul » :
\(\displaystyle \begin{align*} \text{D'une part } 3x-1&=0 & \text{ et d'autre part } 2x+4&=0 \\ 3x&=1 & 2x&=-4 \\ x&=\frac{1}{3} & x&=\frac{-4}{2} \\ & & x&=-2 \\ \end{align*} \)
Les solutions de l'équation sont \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) ou \(\displaystyle x=-2\). Ces solutions peuvent être notées aussi avec l'ensemble \(\displaystyle S=\left\{-2;\frac{1}{3}\right\}\).
Lorsque deux expressions sont inégales (\(\displaystyle A\neq B\)), on a le principe de supériorité ou d'infériorité en utilisant les symboles \(\displaystyle <\) ; \(\displaystyle >\) ; \(\displaystyle \leqslant\) ou \(\displaystyle \geqslant\).
Définition : Quels que soient les nombres \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\), on dit que \(\displaystyle a < b\) si \(\displaystyle b-a\) est positif.
Propriété : Quels que soient les nombres \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\) et \(\displaystyle c\), si \(\displaystyle a < b\), alors \(\displaystyle a+c < b+c\).
Exemple : Si \(\displaystyle 7 < 15\) alors \(\displaystyle 7+10 < 15 + 10 \).
Propriété : Quels que soient les nombres \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\) et \(\displaystyle c\), si \(\displaystyle a < b\), alors \(\displaystyle a-c < b-c\).
Exemple : Si \(\displaystyle 7 < 15\) alors \(\displaystyle 7-10 < 15 - 10 \).
Propriété : Quels que soient les nombres \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\) et \(\displaystyle c\neq0\), si \(\displaystyle a < b\), alors si \(\displaystyle c > 0\) on a \(\displaystyle ac < bc\) et \(\displaystyle \frac{a}{c} < \frac{b}{c}\).
Exemple : Si \(\displaystyle 5 < 6\) alors \(\displaystyle 2\times5 < 2\times6 \).
Propriété : Quels que soient les nombres \(\displaystyle a\) et \(\displaystyle b\) et \(\displaystyle c\neq0\), si \(\displaystyle a < b\), aalors si \(\displaystyle c < 0\) on a \(\displaystyle ac > bc\) et \(\displaystyle \frac{a}{c} > \frac{b}{c}\).
Exemple : Si \(\displaystyle 6 < 21\) alors \(\displaystyle \frac{6}{-3} > \frac{21}{-3} \).
Pour résoudre une inéquation, on utilise la définition et la propriété suivante :
Définition : Une inéquation est une inégalité dans laquelle figurent les nombres inconnus désignés par des lettres. Les solutions d'une inéquation sont les valeurs que l'on peut attribuer aux lettres pour que l'inégalité soit vraie. Résoudre une inéquation revient à trouver toutes les solutions.
Propriété : Lorsqu'on développe, réduit, factorise chacun des membres d'une inéquation, les solutions ne changent pas.
Exemple : L'équation \(\displaystyle 8\left(x+2\right)\geqslant9+10x\) est la même inéquation et donne les mêmes solutions que \(\displaystyle 8x+16\geqslant9+10x\).
Propriété : Lorsqu'on additionne ou on soustrait chacun des membres d'une inéquation par un même nombre, les solutions ne changent pas.
Exemple : L'équation \(\displaystyle 8x+16-10x\geqslant9+10x-10x\) est la même inéquation et donne les mêmes solutions que \(\displaystyle -2x+16\geqslant9\).
Propriété : Lorsqu'on multiplie ou on divise chacun des membres d'une équation par un même nombre positif non nul, les solutions ne changent pas.
Exemple : L'équation \(\displaystyle -2x\geqslant-7\) est la même équation et donne les mêmes solutions que \(\displaystyle -2x\times\frac{1}{2}\geqslant-7\times\frac{1}{2}\).
Propriété : Lorsqu'on multiplie ou on divise chacun des membres d'une équation par un même nombre négatif non nul, les solutions ne changent pas mais le signe de l'inéquation change.
Exemple : L'équation \(\displaystyle -2x\geqslant-7\) est la même équation et donne les mêmes solutions que \(\displaystyle -2x\times\frac{1}{-2}\leqslant-7\times\frac{1}{-2}\).