Les expressions littérales sont étudiées depuis la classe de 5ème et seront utilisées jusqu'à la fin des études. La notion d'expression littérale est très utilisée dans les sciences exactes comme dans les sciences économiques.
Commençons par travailler sur trois exemples, via l'activité suivante : activité n°3
Un premier exemple très simple d'utilisation d'une expression littérale consiste à exprimer l'aire d'une surface d'un objet géométrique : l'aire \( \displaystyle A\) de la surface d'un disque de rayon \( \displaystyle R\) s'exprime par \(\displaystyle A=\pi R^2\).
Un deuxième exemple moins simple d'utilisation d'une expression littérale consiste à exprimer la vitesse de libération \( \displaystyle v_{lib}\) d'un objet autour d'une étoile à neutron de masse \( \displaystyle M\) et de rayon \( \displaystyle R\). Elle s'exprime par \(\displaystyle v_{lib}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}\).
Il devient alors utile de bien maîtriser les calculs qui tournent autour des expressions littérales. Cette notion est appelée calcul littéral.
Le calcul d'une expression littérale se définit de la façon suivante :
Définition : Calculer la valeur d'une expression littérale, c'est attribuer un nombre à chaque lettre de l'expression afin d'effectuer le calcul.
Exemple 1 : En reprenant le premier exemple, si on pose \( \displaystyle R=8\) cm, alors le calcul de \( \displaystyle A\) donne :
\( \displaystyle \begin{align*} A&=\pi R^2 \\ &=\pi\times8^2 \\ &\simeq201 \end{align*} \)
Le calcul de \( \displaystyle A\) donne \( \displaystyle A\simeq201\) cm2.
Exemple 2 : En reprenant le deuxième exemple, si on considère une étoile à neutron de masse \( \displaystyle M=1,44M_\odot\) kg et de rayon \( \displaystyle R=10\) km, alors le calcul de \( \displaystyle v_{lib}\) donne :
\( \displaystyle \begin{align*} v_{lib}&=\sqrt{\frac{2GM}{R}} \\ &=\sqrt{\frac{2\times6,67\times10^{-11}\times1,44\times1,989\times10^{30}}{10\times10^3}} \\ &=\sqrt{\frac{2\times6,67\times1,44\times1,989\times10^{-11}\times10^{30}}{10^4}} \\ &\simeq\sqrt{38,2\times10^{15}} \\ &\simeq2\times10^8 \end{align*} \)
Le calcul de \( \displaystyle v_{lib}\) donne \( \displaystyle v_{lib}\simeq2\times10^8\) m.s-1.
Exemple 3 : En prenant un dernier exemple, plus accessible en classe de 3ème avec une expression littérale \( \displaystyle A=3x+2y-1\). On pose ensuite \( \displaystyle x=4\) et \( \displaystyle y=7\). Le calcul donne :
\( \displaystyle \begin{align*} A&=3x+2y-1 \\ &=3\times4+2\times7-1 \\ &=12+14-1 \\ &=25 \end{align*} \)
Le calcul de \( \displaystyle A\) donne \( \displaystyle A=25\).
Ces exemples font apparaitre des calculs avec des puissances. Il est donc utile de rappeler les propriétés concernant les calculs avec des nombres élevés avec une puissance :
Propriété : \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\) sont deux nombres et \( \displaystyle n\) est une puissance entière. Alors on a \( \displaystyle \left(ab\right)^n=a^nb^n\) et réciproquement, \( \displaystyle a^nb^n=\left(ab\right)^n\).
Exemple :
\( \displaystyle \begin{align*} \left(3x\right)^2&=3^2\times x^2 \\ &=9x^2 \end{align*} \)
Propriété : \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\) sont deux nombres tels que \( \displaystyle b\neq0\) et \( \displaystyle n\) est une puissance entière. Alors on a \( \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\) et réciproquement, \( \displaystyle \frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\).
Exemple :
\( \displaystyle \begin{align*} \left(\frac{x}{3}\right)^2&=\frac{x^2}{3^2} \\ &=\frac{x^2}{9} \end{align*} \)
Propriété : \( \displaystyle a\) est un nombre et \( \displaystyle n\) et \( \displaystyle p\) sont des puissances entières. Alors on a \( \displaystyle a^na^p=a^{n+p}\).
Exemple :
\( \displaystyle \begin{align*} 3^2\times3^7&=3^{2+7} \\ &=3^9 \\ \end{align*} \)
Propriété : \( \displaystyle a\) est un nombre et \( \displaystyle n\) et \( \displaystyle p\) sont des puissances entières. Alors on a \( \displaystyle \left(a^n\right)^p=a^{np}\).
Exemple :
\( \displaystyle \begin{align*} \left(5^2\right)^4&=5^{2\times4} \\ &=5^8 \end{align*} \)
Propriété : \( \displaystyle a\) est un nombre non nul et \( \displaystyle n\) est une puissance entière. Alors on a \( \displaystyle \frac{1}{a^n}=a^{-n}\).
Exemple :
\( \displaystyle \begin{align*} \frac{1}{7^{-3}}&=7^3 \end{align*} \)
Des expressions littérales peuvent être écrites de façons plus ou moins longues. Il est certes plus facile de travailler avec des expressions les moins longues possibles. Il est alors utile de savoir les simplifier pour les racourcir.
Exemple : Considérons l'expression \( \displaystyle A=5x-3y+4-2x+7y+14\). Il est possible de la simplifier en rassemblant les termes qui correspondent à la même lettre exposée à la même puissance. On a alors :
\( \displaystyle \begin{align*} A&=5x-3y+4-2x+7y+14 \\ &=5x-2x-3y+7y+4+14 \\ &=3x+4y+18 \end{align*} \)
L'expression \( \displaystyle A=5x-3y+4-2x+7y+14\) est donc simplifiée en \( \displaystyle A=3x+4y+18\).
Nous venons de voir qu'une expression littérale peut être calculée et simplifiée en écriture. Il est possible aussi de les transformer. Il est possible en effet de changer la forme d'écriture. Une expression littérale peut ainsi être écrite sous forme développée ou sous forme factorisée. Cela a déjà été vue en classe de 5ème. Les méthodes de transformation reste le développement et la factorisation. En calsse de 3ème, on complète ces deux transformations avec les propriétés suivantes :
Pour le développement, on ajoute la propriété sur la double distributivité et celle de l'identité remarquable :
Propriété : Quels que soient les nombres \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\), \( \displaystyle c\) et \( \displaystyle d\), on a \( \displaystyle \left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd\).
Exemple : Avec \( \displaystyle A=\left(x-3\right)\left(2x+5\right)\), cette expression donne :
\( \displaystyle \begin{align*} A&=\left(x-3\right)\left(2x+5\right) \\ &=x\times2x+x\times5-3\times2x-3\times5 \\ &=2x^2+5x-6x-15 \\ &=2x^2-x-15 \end{align*} \)
Le développement de \( \displaystyle A\) donne \( \displaystyle A=2x^2-x-15\)
Propriété : Quels que soient les nombres \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\), on a \( \displaystyle \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\).
Propriété : Quels que soient les nombres \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\), on a \( \displaystyle \left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\).
Propriété : Quels que soient les nombres \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\), on a \( \displaystyle \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2\).
Exemples :
\( \displaystyle \begin{align*} A&=\left(x-3\right)^2 & B&=\left(2x+5\right)^2 & C&=\left(2-x\right)\left(2+x\right)\\ &=x^2-6x+9 & &=4x^2+20x+25 & &=4-x^2 \end{align*} \)
Pour la factorisation, on ajoute la propriété avec l'identité remarquable :
Propriété : Quels que soient les nombres \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\), on a \( \displaystyle a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2\).
Propriété : Quels que soient les nombres \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\), on a \( \displaystyle a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\).
Propriété : Quels que soient les nombres \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\), on a \( \displaystyle a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\).
Exemples :
\( \displaystyle \begin{align*} A&=4x^2-2x+1 & B&=36x^2+24x+4 & C&=81x^2-49 \\ &=\left(2x-1\right)^2 & &=\left(6x+2\right)^2 & &=\left(9x+7\right)\left(9x-7\right)\\ \end{align*} \)