Depuis les classes de primaire, voir même celles de la maternelle, nous utilisons les chiffres pour former des nombres. Les types de nombres que nous avons rencontrés sont très variés et nous n'avons pas encore tout vu. Il en existe d'autres qui seront étudiés au lycée et dans les études supérieures.
En attendant, attardons-nous à la liste de nombres située dans l'activité : activité n°1.
D'après cette activité, nous avons vu qu'il était possible de catégoriser les nombres. Nous pouvons ainsi les regrouper suivant certaines caractéristiques. Pour cette séquence, nous allons nous attarder sur les nombres entiers naturels. Ce regroupement s'appelle l'ensemble des nombres entiers naturels.
A l'intérieur de cet ensemble, nous avons vu qu'il était encore possible de créer des sous-ensembles, comme les nombres pairs, impairs, etc.
Les nombres entiers naturels sont les premiers nombres que nous avons rencontrés dans les classes du primaire. Ce sont les nombres avec lesquels nous avons l'habitude d'utiliser dans notre vie quotidienne pour compter.
Définition : Un nombre entier naturel est un nombre entier positif.
Exemple : Dans l'ordre, on a : 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , ... Nous remarquons que le nombre 0 est bien un nombre entier positif.
Avec tous ces nombres entiers naturels, il est facile d'effectuer des multiplications. Par exemple, si je prends le nombre 6, je peux le multiplier par d'autres nombres. Par 2, j'obtiens \( \displaystyle 6\times2=12\). Par 3, j'obtiens \( \displaystyle 6\times3=18\). Par 10, j'obtiens \( \displaystyle 6\times10=60\). Ces résultats sont des issus d'une multiplication de 6. Nous les appelons des multiples de 6.
Définition : Un nombre entier noté \( \displaystyle a\) est un multiple d'un nombre entier noté \( \displaystyle b\), signifie qu'il existe un nombre entier \( \displaystyle k\) tel que \( \displaystyle a=kb\).
Dans notre exemple avec le nombre 6, avec l'opération \( \displaystyle 6\times10=60\), 60 est un multiple de 6.
Si nous continuons à utilser cet exemple avec l'opération \( \displaystyle 6\times10=60\), nous remarquons que 60 peut se diviser par 6 ou par 10. Ces deux derniers nombres sont alors appelés des diviseurs.
Définition : A partir de la précédente définition, les nombres \( \displaystyle k\) et \( \displaystyle b\) sont appelés des diviseurs de \( \displaystyle a\). Autrement dit, \( \displaystyle a\) est divisible par \( \displaystyle k\) et \( \displaystyle b\).
Dans notre exemple avec le nombre 60, avec l'opération \( \displaystyle 6\times10=60\), 60 est divisible par 6 et par 10. Les nombres 6 et 10 sont des diviseurs de 60.
Nous constatons que certains nombres possèdent plusieurs diviseurs. Si nous reprenons l'exemple avec le nombre 60, nous avions vu qu'il possède 10 et 6 en tant que diviseurs. Mais le nombre 6 est aussi divisible par 3 et 2. Aussi, le nombre 10 est aussi divisible par 2 et 5. On peut donc écrire que le nombre 60 possède plusieurs diviseurs : 1, 2, 3, 4, 5,6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.
D'autres nombres peuvent obtenir davantage de diviseurs. Mais d'autres n'en possèdent seulement deux.
Définition : Est appelé nombre premier, tout nombre entier naturel qui ne possède que deux diviseurs distincts.
Exemple : Le nombre 11 ne peut se diviser que par 1 ou par 11. C'est donc un nombre premier.
Contre exemple : Le nombre 33 se divise par 1 ou par 11, mais se divise aussi par 3. Il obtient donc plus que deux diviseurs. Ce n'est donc pas un nombre premier.
Les nombres premiers sont utilisés dans différents domaines ou astuces en mathématiques. En classe de troisième, nous proposons deux applications :
Partons des nombres 12 et 18. Le nombre 12 peut se diviser par 2, par 3, par 4, par 6 et naturellement par 1 et lui-même). Le nombre 18 se divise quant à lui par 2, par 3, par 6, par 9 ( et naturellement par 1 et lui-même).
Nous remarquons que ces deux nombres ont des diviseurs en communs : 1, 2, 3 et 6. Ce qui nous permet d'écrire la définition suivante :
Définition : Dire qu'un nombre \( \displaystyle d\) est un diviseur commun de deux nombres entiers \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\) signifie que \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\) sont divisibles par \( \displaystyle d\).
Il existe des situations où le seul diviseur commun de deux nombres entiers soit 1. Dans ce cas, les deux nombres sont appelés de la façon suivante :
Définition : Lorsque deux nombres entiers ont un seul diviseur commun égal à 1, ces deux nombres sont dits premiers entre eux.
Exemple : Les nombres 12 et 35 sont premiers entre eux car ils n'ont qu'un seul diviseur commune : le 1.
Il a été vu, en classe de sixième, la simplification de fractions. Cette simplification consiste à écrire la fraction avec des nombres les plus petits possibles. Dans ce cas, la fraction est dite irréductible.
Exemple : La fraction \( \displaystyle \frac{15}{25}\) peut se simplifier en l'écrivant \( \displaystyle \frac{3}{5}\). Cette dernière fraction n'étant plus simplifiable, elle est dite irréductible.
Lorsque les nombres sont abordables, il est facile de simplfier la fraction. En revanche, lorsque le numérateur ou le dénominateur sont moins sympas comme par exemple \( \displaystyle \frac{70}{182}\), il devient utile de procéder à une décomposition en nombres premiers à l'aide de la propriété suivante :
Propriété : Un nombre peut toujours se décomposer en produit de facteurs premiers.
Le numérateur 70 se décompose en \( \displaystyle 70=7\times10\). Mais il peut encore se simplifier davantage : \( \displaystyle 70=7\times5\times2\). Nous obtenons bien une décomposition en facteurs premiers.
De la même façon, le dénominateur 182 se décompose en \( \displaystyle 182=2\times13\times7\).
Avec ces deux décompositions, nous pouvons alors écrire la fraction de départ de la façon suivante : \( \displaystyle \frac{70}{182}=\frac{2\times5\times7}{2\times7\times13}\). Il devient alors facile d'effectuer la simplification de la façon suivante : \( \displaystyle\require{cancel} \frac{70}{182}=\frac{\cancel{2}\times5\times\cancel{7}}{\cancel{2}\times\cancel{7}\times13}\) pour obtenir finalement la fraction irréductible \( \displaystyle \frac{5}{13}\).
Nous pouvons ainsi donner la définition suivante :
Définition : La fraction notée \( \displaystyle \frac{a}{b}\) est dite irréductible lorsque les nombres \( \displaystyle a\) et \( \displaystyle b\) sont premiers entre eux.