Anniversaire
1942 : Michel FUGAIN
1972 : Stomy BUGSY
Pensée ou citation du jour
« La tolérance atteindra un tel niveau que les personnes intelligentes seront interdites de toute réflexion afin de ne pas offenser les imbéciles. »
[Fiodor DOSTOIEVSKI]
Question du jour en physique :
Equation de propagation de la déformation sur une corde vibrante ?
Réponse :
On considère une corde de masse linéique \(\displaystyle \mu\).
En un point \(\displaystyle M\) de coordonnées \(\displaystyle M\left(x,y\right)\), une tension sur la corde est exercée de la droite vers la gauche, notée \(\displaystyle \overrightarrow{T}_{d-g}\left(x,y\right)\).
Cette force fait un angle \(\displaystyle \alpha\left(x,y\right)\) avec la corde.
En un autre point d'abscisse \(\displaystyle x+dx\), une tension sur la corde est exercée de la gauche vers la droite, notée \(\displaystyle \overrightarrow{T}_{g-d}\left(x+dx,y\right)\).
Cette force fait un angle \(\displaystyle \alpha\left(x+dx,y\right)\) avec la corde.
On néglige le phénomène de pesanteur. On étudie la déformation \(\displaystyle y\left(x,t\right)\).
On se place dans l'approximation des petits angles.
On applique enfin la deuxième loi de Newton : \(\displaystyle \sum \overrightarrow{F}_{ext}=m\overrightarrow{a}\) :
\(\displaystyle \begin{align*} m\overrightarrow{a}&=\sum \overrightarrow{F}_{ext} \\ \mu dx\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}\overrightarrow{j}&=\overrightarrow{T}_{d-g}\left(x,y\right)+\overrightarrow{T}_{g-d}\left(x+dx,y\right) \\ \mu dx\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}\overrightarrow{j}&=\overrightarrow{T}\left(x+dx,y\right)-\overrightarrow{T}\left(x,y\right) \\ \end{align*} \)
On projette cette équation vectorielle sur les deux axes :
&circle; Sur l'axe \(\displaystyle \left(Ox\right)\) :
\(\displaystyle \begin{align*} 0&=T\left(x+dx,y\right)\cos\left[\alpha\left(x+dx,t\right)\right]-T\left(x,y\right)\cos\left[\alpha\left(x,t\right)\right] \\ 0&=T\left(x,y\right)-T\left(x+dx,y\right) \text{ car } \cos\left(\alpha\right)\simeq 1 \text{ (petits angles)}\\ 0&=\dfrac{\partial T}{\partial x}dx\\ \end{align*} \)
On en déduit que \(\displaystyle T\) ne dépend pas de \(\displaystyle x\) et ne dépend que du temps \(\displaystyle t\).
&circle; Sur l'axe \(\displaystyle \left(Ox\right)\) :
\(\displaystyle \begin{align*} \mu dx\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}&=T\left(x+dx,y\right)\sin\left[\alpha\left(x+dx,t\right)\right]-T\left(x,y\right)\sin\left[\alpha\left(x,t\right)\right] \\ \mu dx\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}&=T\left(x+dx,y\right)\alpha\left(x+dx,t\right)-T\left(x,y\right)\alpha\left(x,t\right) \text{ car } \sin\left(\alpha\right)\simeq \alpha \text{ (petits angles)}\\ \mu dx\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}&=T_0\left[\alpha\left(x+dx,t\right)-\alpha\left(x,t\right)\right] \text{ car } T\left(x,y\right)=T\left(x+dx,y\right)=T_0\\ \mu dx\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}&=T_0\dfrac{\partial \alpha}{\partial x}dx\\ \mu dx\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}&=T_0\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx \text{ car } \alpha\simeq\dfrac{dy}{dx} \text{ (petits angles)}\\ \mu\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}&=T_0\dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}\\ \dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}&=\dfrac{\mu}{T_0}\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}\\ \dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}-\dfrac{\mu}{T_0}\dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}=0\\ \end{align*} \)
On obtient l'équation de propagation du déplacement \(\displaystyle y\) de la corde vibrante.
On pose \(\displaystyle c=\dfrac{T_0}{\mu}\), la célérité de l'onde.