Anniversaire
1949 : Mark KNOPFLER
Historique
En 1851, début de la production de la première machine à coudre Singer
En 1964, décès de Ian FLEMMING
En 1981, la firme IBM lance la production du premier PC
En 1982, décès d'Henri FONDA
En 2014, décès de Robin WILLIAMS
Pensée ou citation du jour
« Je t'écrirai toujours les mots dont ton coeur a besoin. Ce sont les mains invisibles avec lesquelles le mien touche le tien. »
[John JOOS]
Question du jour en physique :
Démontrer la loi de Kohlrausch ?
Réponse :
On considère une cellule conductimétrique construite avec deux armatures de sections identiques nottées \(\displaystyle S\) et distancées d'une longueur \(\displaystyle d\).
La solution est composée d'ions indicés \(\displaystyle i\) de charge \(\displaystyle z_ie\).
Lorsque la solution est soumises à un champs électrique \(\displaystyle \overrightarrow{E}\), les ions sont soumis à une action électrostatique modélisée par la force de Coulomb notée \(\displaystyle \overrightarrow{f_C}\) telle que \(\displaystyle \overrightarrow{f_C}=z_ie\overrightarrow{E}\).
Soumis à cette force, les ions sont en mouvement et sont confrontés à une force de frottement fluide modélisée par la force \(\displaystyle \overrightarrow{f_v}\) telle que \(\displaystyle \overrightarrow{f_v}=-\alpha\overrightarrow{v}\) où \(\displaystyle \overrightarrow{v}\) est la vitesse de l'ion et \(\displaystyle \alpha\) un coefficient de frottement (souvent lié à la viscosité du fluide).
Lorsque les ions atteignent un régime permanent, la deuxième loi de Newton indique que \(\displaystyle \overrightarrow{f_C}+\overrightarrow{f_v}=\overrightarrow{0}\).
On pose \(\displaystyle u_i\), la mobilité d'un ion telle que \(\displaystyle u_i=\dfrac{z_ie}{\alpha}\). L'équation devient donc \(\displaystyle u_iE-v=0\) après projection.
On définit ensuite la densité de charge volumique notée \(\displaystyle \rho_i\) par \(\displaystyle \rho_i=\dfrac{Q}{V}\). Avec \(\displaystyle N_i\) ions dans la solution, la charge \(\displaystyle Q\) s'exprime par \(\displaystyle Q=z_ieN_i\). Ainsi, \(\displaystyle \rho_i=\dfrac{z_ieN_i}{V}\).
A l'aide du nombre d'Avogadro \(\displaystyle N_A\), on peut exprimer \(\displaystyle N_i\) à l'aide de la quantité de matière, ce qui donne \(\displaystyle N_i=N_An_i\).
Alors la densité volumique de charge s'écrit \(\displaystyle \rho_i=\dfrac{z_ieN_An_i}{V}\). Avec \(\displaystyle C_i=\dfrac{n_i}{V}\), on peut écrire \(\displaystyle \rho_i=C_iz_ieN_A\).
Avec la constante de Faraday \(\displaystyle F\) qui traduit la charge d'une mole d'ions avec \(\displaystyle F=eN_A\), on obtient \(\displaystyle \rho_i=C_iz_iF\).
On définit la densité de courant surfacique \(\displaystyle j\) par \(\displaystyle j=\dfrac{I}{S}\).
Comme \(\displaystyle I=\dfrac{Q}{t}\), alors \(\displaystyle j=\dfrac{Q}{tS}\).
Avec \(\displaystyle \rho_i=\dfrac{Q}{V}\), \(\displaystyle Q=\rho_iV\) et donc \(\displaystyle j=\dfrac{\rho_iV}{tS}\).
Après simplification avec \(\displaystyle V\) et \(\displaystyle S\), on arrive ) \(\displaystyle j=\dfrac{\rho_il}{t}\).
La vitesse \(\displaystyle v\) s'exprimant par \(\displaystyle v=\dfrac{l}{t}\), on arrive à \(\displaystyle j=\rho_iv\).
La loi d'Ohm exprime que \(\displaystyle U=RI\). Comme \(\displaystyle j=\dfrac{I}{S}\), alors \(\displaystyle U=jRS\) et par conséquent, \(\displaystyle j=\dfrac{U}{RS}\).
La différence de potentiel \(\displaystyle U\) et le champ élecrique étant liés par l'expression \(\displaystyle E=\dfrac{U}{l}\), on a \(\displaystyle j=\dfrac{lE}{RS}\).
La conductance \(\displaystyle G\) est définit par \(\displaystyle G=\dfrac{1}{R}\) donc \(\displaystyle j=\dfrac{lEG}{S}\).
On pose \(\displaystyle \sigma\), la conductivité ionique telle que \(\displaystyle \sigma=\dfrac{Gl}{S}\). Alors on peut écrire que \(\displaystyle j=E\sigma\).
Comme aussi \(\displaystyle j=\rho_iv\) alors \(\displaystyle \sigma=\dfrac{\rho_iv}{E}\).
Avec \(\displaystyle \rho_i=C_iz_iF\), on ontient \(\displaystyle \sigma=\dfrac{C_iz_iFv}{E}\).
Or, la mobilité est telle que \(\displaystyle u_i=\dfrac{v}{E}\) donc \(\displaystyle \sigma=C_iz_iFu_i\).
En divisant par \(\displaystyle C_i\), on a \(\displaystyle \dfrac{\sigma}{C_i}=z_iFu_i\).
On définit la conductivité molaire ionique \(\displaystyle \lambda_i\) telle que \(\displaystyle \lambda_i=\dfrac{\sigma}{C_i}\) et donc \(\displaystyle \sigma=\lambda_iC_i\).
Pour tous les ions, on aura \(\displaystyle \sigma=\sum_i \lambda_iC_i\).