Enseignement

Question du jour en physique :

Démontrer la formule du premier principe industriel de la thermodynamique ?

Réponse :

On considère un élément de machine thermique \(\displaystyle \left(\Sigma\right)\) dans lequel un fluide entre puis sort. Ce fluide subit un écoulement permanent et donc différents trasnferts d'énergie.

Ce fluide a une masse et le débit massique est le même en entrée et en sortie puisque l'écoulement est permanent : \(\displaystyle D_m=\dfrac{\mathrm{d}m_e}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}m_s}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\).

Le système est ouvert : il échange de la matière avec l'extérieur.

Le premier principe de la thermodynamique ne s'applique qu'à un système fermé.

On doit donc fermé le système par la masse \(\displaystyle \mathrm{d}m\) à l'instant \(\displaystyle t\) et par la masse \(\displaystyle \mathrm{d}m\) à l'instant \(\displaystyle t+\mathrm{d}t\).

Le système fermé \(\displaystyle \left(\Sigma^*\right)\) devient donc \(\displaystyle \left(\Sigma^*\right)=\left(\Sigma\right)+\left(\mathrm{d}m\right)\). et ce à l'instant \(\displaystyle t\) et à l'instant \(\displaystyle t+\mathrm{d}t\).

On peut maintenant énoncé le premier principe de la thermodynamique sur le système \(\displaystyle \left(\Sigma^*\right)\) :

\(\displaystyle \begin{align*} \mathrm{d}E^*&=E^*\left(t+\mathrm{d}t\right)-E^*\left(t\right) \\ \mathrm{d}E^*&=\mathrm{d}U^*+\mathrm{d}E_c^*+\mathrm{d}E_{p-fc}^* \\ \mathrm{d}E^*&=\delta W+\delta Q \\ \end{align*} \)

La quantité \(\displaystyle \delta W\) concerne le travail des forces non conservatives. C'est le cas des forces de pression.

A l'entrée, la force de pression est dirigée vers l'intérieur du système. On a donc \(\displaystyle \overrightarrow{F_e}=p_eS_e\overrightarrow{u_x}\).

A la sortie, la force de pression est dirigée vers l'intérieur du système. On a donc \(\displaystyle \overrightarrow{F_s}=-p_sS_s\overrightarrow{u_x}\).

On traite maintenant chaque terme d'énergie :

\(\displaystyle \bullet\) Pour l'énergie interne, on a \(\displaystyle \mathrm{d}U^*=U^*\left(t+\mathrm{d}t\right)-U^*\left(t\right)\), c'est-à-dire \(\displaystyle \mathrm{d}U^*=U\left(t+\mathrm{d}t\right)+\mathrm{d}m\times u_s-U\left(t\right)-\mathrm{d}m\times u_e\), avec \(\displaystyle u_e\), l'énergie interne massique à l'entrée.

\(\displaystyle \bullet\) Pour l'énergie cinétique, on a \(\displaystyle \mathrm{d}E_c^*=\dfrac{1}{2}\mathrm{d}m\left(c_s^2-c_e^2\right)\).

\(\displaystyle \bullet\) Pour l'énergie potentielle des forces extérieures, on a \(\displaystyle \mathrm{d}E_p^*=\mathrm{d}mg\left(z_s-z_e\right)\).

Alors l'équation de départ devient \(\displaystyle \mathrm{d}E^*=\mathrm{d}m\left[u_s-u_e+\dfrac{1}{2}\left(c_s^2-c_e^2\right)+g\left(z_s-z_e\right)\right]\)

Pour le calcul du travail, on regarde les éventuelles sources de travail mécanique dues par une turbine intérieure par exemple. Ce travail utile est notée \(\displaystyle \mathrm{d}w_u\times\mathrm{d}m\).

Enfin pour le transfert d'énergie thermique, on le note \(\displaystyle \mathrm{d}q\times\mathrm{d}m\).

Il reste le travail des forces de pression : \(\displaystyle \delta W_p=\overrightarrow{F_e}.\overrightarrow{c_e}\mathrm{d}t-\overrightarrow{F_s}.\overrightarrow{c_s}\mathrm{d}t\), ce qui donne \(\displaystyle \delta W_p=p_ec_e\mathrm{d}t-p_sc_s\mathrm{d}t\).

Cette expression peut s'écrire aussi \(\displaystyle \delta W_p=p_eV_e\mathrm{d}m-p_sV_s\mathrm{d}m\).

Alors on regroupe tous les termes et on reformule l'équation de départ :

\(\displaystyle \begin{align*} \mathrm{d}m\left[u_s-u_e+\dfrac{1}{2}\left(c_s^2-c_e^2\right)+g\left(z_s-z_e\right)\right]&=w_u\mathrm{d}m+q\mathrm{d}m+\delta W_p \\ \mathrm{d}m\left[u_s-u_e+\dfrac{1}{2}\left(c_s^2-c_e^2\right)+g\left(z_s-z_e\right)\right]&=w_u\mathrm{d}m+q\mathrm{d}m+p_eV_e\mathrm{d}m-p_sV_s\mathrm{d}m \\ u_s-u_e+\dfrac{1}{2}\left(c_s^2-c_e^2\right)+g\left(z_s-z_e\right)&=w_u+q+p_eV_e-p_sV_s \\ u_s-p_sV_s-u_e-p_eV_e+\dfrac{1}{2}\left(c_s^2-c_e^2\right)+g\left(z_s-z_e\right)&=w_u+q \\ u_s+p_sV_s+\dfrac{1}{2}c_s^2+gz_s-\left[u_e+p_eV_e+\dfrac{1}{2}c_e^2+gz_e\right]&=w_u+q \\ \Delta h+\Delta e_c+\Delta e_p&=w_u+q \text{ puisque } h=u+pv\\ \end{align*} \)

Cette formule peut s'écrire avec la notion de puissance :

On multiplie la formule par le débit massique :

\(\displaystyle \begin{align*} D_m\left(\Delta h+\Delta e_c+\Delta e_p\right)&=D_mw_u+D_mq \\ D_m\left(\Delta h+\Delta e_c+\Delta e_p\right)&=P_u+P \\ \end{align*} \)