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Question du jour en physique :

Démontrer l'expression de l'équation polaire \(\displaystyle r=f\left(\theta\right)\) à partir de l'énergie mécanique \(\displaystyle E_m=\dfrac{m\dot r^2}{2}+\dfrac{mC^2}{2r^2}+\dfrac{GmM_O}{r}\) et la constante de mouvement \(\displaystyle C=r^2\dot\theta\).

Réponse :

On considère un objet représenté par un point \(\displaystyle M\) de masse \(\displaystyle m\) soumis à une force centrale \(\displaystyle \overrightarrow{F}\) dirigée vers un point fixe \(\displaystyle O\) de masse \(\displaystyle M_O\).

Le système étudié étant l'objet, dans le référentiel \(\displaystyle O\) supposé galiléen.

Les deux équations de départ sont :

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} E_m=\dfrac{m\dot r^2}{2}+\dfrac{mC^2}{2r^2}+\dfrac{GmM_O}{r} \\ C=r^2\dot\theta \end{array} \right. \)

On pose \(\displaystyle u=\dfrac{1}{r}\). Alors \(\displaystyle r=\dfrac{1}{u}\). D'où :

\(\displaystyle \begin{align*} r&=\dfrac{1}{u} \\ \dot r&=\dfrac{d\left(\dfrac{1}{u}\right)}{dt} \\ \dot r&=\dfrac{\dfrac{-du}{u^2}}{dt} \\ \dot r&=\dfrac{-1}{u^2}\dfrac{du}{dt} \\ \end{align*} \)

Aussi :

\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{du}{dt}&=\dfrac{du}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dt}\\ \dfrac{du}{dt}&=\dfrac{du}{d\theta}\dot\theta\\ \end{align*} \)

Alors :

\(\displaystyle \begin{align*} \dot r&=\dfrac{-1}{u^2}\dfrac{du}{dt} \\ \dot r&=\dfrac{-1}{u^2}\dot\theta\dfrac{du}{d\theta} \\ \end{align*} \)

Enfin, comme \(\displaystyle \dfrac{1}{u}=r\), alors :

\(\displaystyle \begin{align*} \dot r&=-r^2\dot\theta\dfrac{du}{d\theta} \\ \dot r&=-C\dfrac{du}{d\theta} \\ \end{align*} \)

On arrive alors aux deux équations :

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} E_m=\dfrac{mC^2}{2}\left(\dfrac{du}{d\theta}\right)^2+\dfrac{C^2m}{2}u^2+GmM_Ou \\ \dot\theta=Cu^2 \end{array} \right. \)

On dérive la première équation par rapport à \(\displaystyle \theta\) et on obtient :

\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{dE_m}{d\theta}&=\dfrac{d}{d\theta}\left[\dfrac{mC^2}{2}\left(\dfrac{du}{d\theta}\right)^2\right]+\dfrac{d}{d\theta}\left[\dfrac{C^2m}{2}u^2\right]+\dfrac{d}{d\theta}\left[GmM_Ou\right] \\ 0&=\dfrac{mC^2}{2}\times2\dfrac{d^2u}{d\theta^2}\dfrac{du}{d\theta}+2\dfrac{C^2m}{2}\dfrac{du}{d\theta}u+GmM_O\dfrac{du}{d\theta} \\ 0&=mC^2\dfrac{d^2u}{d\theta^2}+C^2mu+GmM_O \\ 0&=C^2\dfrac{d^2u}{d\theta^2}+C^2u+GM_O \\ \dfrac{d^2u}{d\theta^2}+u&=\dfrac{-GM_O}{C^2} \\ \end{align*} \)

On obtient une équation du second degré avec second membre, en \(\displaystyle u\). Les solutions sont du type \(\displaystyle u\left(\theta\right)=\dfrac{GM_O}{C^2}+A\cos\left(\theta-\theta_0\right)\).

Comme \(\displaystyle u=\dfrac{1}{r}\) alors \(\displaystyle \dfrac{1}{r\left(\theta\right)}=\dfrac{GM_O}{C^2}+A\cos\left(\theta-\theta_0\right)\).

Posons \(\displaystyle p=\dfrac{C^2}{GM_O}\). Alors :

\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{1}{r\left(\theta\right)}&=\dfrac{1}{p}+A\cos\left(\theta-\theta_0\right) \\ 1&=\dfrac{r\left(\theta\right)}{p}+Ar\left(\theta\right)\cos\left(\theta-\theta_0\right) \\ r\left(\theta\right)\left[\dfrac{1}{p}+A\cos\left(\theta-\theta_0\right)\right]&=1\\ r\left(\theta\right)\dfrac{1+pA\cos\left(\theta-\theta_0\right)}{p}&=1\\ r\left(\theta\right)&=\dfrac{p}{1+pA\cos\left(\theta-\theta_0\right)}\\ \end{align*} \)

L'équation polaire est \(\displaystyle r\left(\theta\right)=\dfrac{p}{1+pA\cos\left(\theta-\theta_0\right)}\).