Enseignement

Question du jour en physique :

Démontrer la relation de conjugaison de Descartes ?

Réponse :

On considère le schéma des chemins optiques de rayon lumineux au travers une lentille convergente, d'un objet \(\displaystyle \overline{AB}\) pour donner l'image \(\displaystyle \overline{A'B'}\).

Le grandissement s'énonce par \(\displaystyle \gamma=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}\) et ausi par \(\displaystyle \gamma=\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}\).

Avec la première relation du grandissement, et le théorème de Thalès, on a :

\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}&=\dfrac{\overline{F'A'}}{\overline{F'O}} \\ \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}&=\dfrac{\overline{F'O}+\overline{OA'}}{\overline{F'O}} \\ \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}&=1+\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{F'O}} \\ \end{align*} \)

Avec la deuxième relation du grandissement, et cette précédente relation, on peut écrire que :

\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}&=1+\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{F'O}} \\ \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}\times\overline{OA'}}&=\dfrac{1}{\overline{OA'}}+\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{F'O}\times\overline{OA'}} \\ \dfrac{1}{\overline{OA}}&=\dfrac{1}{\overline{OA'}}+\dfrac{1}{\overline{F'O}} \\ \dfrac{1}{\overline{OA}}-\dfrac{1}{\overline{OA'}}&=\dfrac{1}{\overline{F'O}} \\ \dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}&=-\dfrac{1}{\overline{F'O}} \\ \dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}&=\dfrac{1}{\overline{OF'}} \\ \end{align*} \)

En posant \(\displaystyle f'=\overline{OF'}\) et \(\displaystyle p'=\overline{OA'}\) et \(\displaystyle p=\overline{OA}\), la relation s'écrit \(\displaystyle \dfrac{1}{p'}-\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{f'}\). C'est la relation de conjugaison de Descartes.