Anniversaire
1902 : Paul DIRAC
1961 : Dave IVANS
Historique
En 1936, l'Américain Jesse OWENS devient le premier athlète à remporter 4 médailles d'or olympiques
En 1957, décès de Oliver HARDY
En 2022, décès d'Olivia NEWTON-JOHN
Pensée ou citation du jour
« J'aime appuyer ma main sur le tronc d'un arbre devant lequel je passe, non pour m'assurer de l'existence de l'arbre - dont je ne doute pas - mais de la mienne. »
[Christian BOBIN]
Question du jour en physique :
Démontrer l'équation différentielle du mouvement du pendule simple avec la méthode de la deuxième loi de Newton ?
Réponse :
On considère un pendule simple constitué d'une masse \(\displaystyle m\) suspendu à une tige de longueur \(\displaystyle l\) et de masse négligeable. L'ensemble est accroché en un point \(\displaystyle O\).
La masse est représentée par le point \(\displaystyle M\).
On note \(\displaystyle \theta\) l'angle mesurée à l'aide de la droite verticale \(\displaystyle \left(Oz\right)\) dirigée vers le haut, et le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{OM}\).
Le système étudié est l'objet de masse \(\displaystyle m\).
L'étude se réalise dans un référentiel galiléen muni d'un système de repérage de coordonnées cylindrique \(\displaystyle \left(O,\overrightarrow{e_r};\overrightarrow{e_{\theta}};\overrightarrow{e_z}\right)\) puisque le mouvement est circulaire.
Le bilan des forces se résument au poids \(\displaystyle \overrightarrow{P}\) et à la tension de la tige \(\displaystyle \overrightarrow{T}\).
On utilise alors la deuxième loi de Newton : \(\displaystyle \sum \overrightarrow{F_{ext}}=m\overrightarrow{a}\) soit \(\displaystyle \overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}\).
Comme \(\displaystyle \overrightarrow{OM}=l\overrightarrow{e_r}\) alors :
\(\displaystyle \begin{align*} \overrightarrow{v}&=\dfrac{{\rm d}\overrightarrow{OM}}{{\rm d}t} \\ \overrightarrow{v}&=\dfrac{{\rm d}l\overrightarrow{e_r}}{{\rm d}t} \\ \overrightarrow{v}&=\dfrac{{\rm d}l}{{\rm d}t}\overrightarrow{e_r}+l\dfrac{{\rm d}\overrightarrow{e_r}}{{\rm d}t} \\ \overrightarrow{v}&=l\dot\theta\overrightarrow{e_{\theta}} \\ \end{align*} \)
Il vient ensuite :
\(\displaystyle \begin{align*} \overrightarrow{a}&=\dfrac{{\rm d}\overrightarrow{v}}{{\rm d}t} \\ \overrightarrow{a}&=\dfrac{{\rm d}l\dot\theta\overrightarrow{e_{\theta}}}{{\rm d}t} \\ \overrightarrow{a}&=\dfrac{{\rm d}l}{{\rm d}t}\dot\theta\overrightarrow{e_{\theta}}+l\dfrac{{\rm d}\dot\theta\overrightarrow{e_{\theta}}}{{\rm d}t} \\ \overrightarrow{a}&=0+l\dfrac{{\rm d}\dot\theta}{{\rm d}t}\overrightarrow{e_{\theta}}+l\dot\theta\dfrac{{\rm d}\overrightarrow{e_{\theta}}}{{\rm d}t} \\ \overrightarrow{a}&=l\ddot\theta\overrightarrow{e_{\theta}}-l\dot\theta^2\overrightarrow{e_r} \\ \end{align*} \)
Ensuite, \(\displaystyle \overrightarrow{P}=mg\cos\left(\theta\right)\overrightarrow{e_r}-mg\sin\left(\theta\right)\overrightarrow{e_{\theta}}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{T}=-T\overrightarrow{e_r}\). Alors l'équation devient :
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} mg\cos\left(\theta\right) -T &= -lm\dot\theta^2 \\ -mg\sin\left(\theta\right) &= lm\ddot\theta \\ \end{aligned} \right. \)
La deuxième équation donne :
\(\displaystyle \begin{align*} -mg\sin\left(\theta\right)&=l\ddot\theta \\ \ddot\theta+\dfrac{g}{l}\sin\left(\theta\right)&=0 \\ \end{align*} \)
C'est l'équation différentielle en \(\displaystyle \theta\) du mouvement avec la méthode de la deuxième loi de Newton.