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Pensée ou citation du jour

Question du jour en physique :

Démontrer l'équation différentielle du mouvement du pendule simple à l'aide de la méthode du moment cinétique. ?

Réponse :

On considère un pendule simple constitué d'une masse \(\displaystyle m\) suspendu à une tige de longueur \(\displaystyle l\) et de masse négligeable. L'ensemble est accroché en un point \(\displaystyle O\).

La masse est représentée par le point \(\displaystyle M\).

On note \(\displaystyle \theta\) l'angle mesurée à l'aide de la droite verticale \(\displaystyle \left(Oz\right)\) dirigée vers le haut, et le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{OM}\).

Le système étudié est l'objet de masse \(\displaystyle m\).

L'étude se réalise dans un référentiel galiléen muni d'un système de repérage de coordonnées cylindrique \(\displaystyle \left(O,\overrightarrow{e_r};\overrightarrow{e_{\theta}};\overrightarrow{e_z}\right)\)cpuisque le mouvement est circulaire.

Le bilan des forces se résument au poids \(\displaystyle \overrightarrow{P}\) et à la tension de la tige \(\displaystyle \overrightarrow{T}\).

On utilise alors le théorème du moment cinétique : \(\displaystyle \dfrac{{\rm d}\overrightarrow{L_{O}}}{{\rm d}t}=\sum \mathcal{M}_{O}\left(\overrightarrow{F}\right)\) soit \(\displaystyle \dfrac{{\rm d}\overrightarrow{L_{O}}}{{\rm d}t}=\mathcal{M}_{O}\left(\overrightarrow{P}\right)+\mathcal{M}_{O}\left(\overrightarrow{T}\right)\).

L'expression du moment cinétique donne \(\displaystyle \overrightarrow{L}_O=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{p}\) avec \(\displaystyle \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}\).

Comme \(\displaystyle \overrightarrow{OM}\begin{pmatrix} l \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \\ l \dot\theta \\ 0 \end{pmatrix}\) alors :

\(\displaystyle \begin{align*} \overrightarrow{L}_O &= \overrightarrow{OM}\begin{pmatrix} l \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \wedge m\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \\ l \dot\theta \\ 0 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{L}_O &= ml^2\dot\theta\overrightarrow{e_z} \\ \end{align*} \)

Donc \(\displaystyle \dfrac{{\rm d}\overrightarrow{L}_O}{{\rm d}t}\) a pour coordonnées \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ml^2\ddot\theta \end{pmatrix}\)

Ensuite, \(\displaystyle \mathcal{M}_{O}\left(\overrightarrow{P}\right)=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{P}\). Il vient :

\(\displaystyle \begin{align*} \mathcal{M}_{O}\left(\overrightarrow{P}\right)&=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{P} \\ \mathcal{M}_{O}\left(\overrightarrow{P}\right)&=\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix} l \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\wedge\overrightarrow{P}\begin{pmatrix} mg\cos\left(\theta\right) \\ -mg\sin\left(\theta\right) \\ 0 \end{pmatrix} \\ \mathcal{M}_{O}\left(\overrightarrow{P}\right)&=-lmg\sin\left(\theta\right)\overrightarrow{e_z} \\ \end{align*} \)

Le moment de la force de tension de la tuge est nul car la force \(\displaystyle \overrightarrow{T}\) est orthogonal au vecteur position \(\displaystyle \overrightarrow{OM}\).

On regroupe les résultats pour avoir :

\(\displaystyle \begin{align*} \overrightarrow{L}_O&=\overrightarrow{OM}\wedge\overrightarrow{p} \text{ avec } \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v} \\ ml^2\ddot\theta&=-lmg\sin\left(\theta\right) \\ \ddot\theta+\dfrac{g}{l}\sin\left(\theta\right)&=0 \\ \end{align*} \)

C'est l'équation différentielle en \(\displaystyle \theta\) du mouvement avec la méthode du moment cinétique.