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Question du jour en physique :

Démonstration de l'impédance dans un circuit électrique avec le facteur de qualité à la résonance. ?

Réponse :

On considère un circuit série comprenant un générateur de basse fréquence et de pulsation \(\displaystyle \omega\) et d'amplitude maximale \(\displaystyle U_{max}=U_{eff}\sqrt{2}\), une bobine d'inductance \(\displaystyle L\), un condensateur de capacité \(\displaystyle C\) et un conducteur ohmique de résistance \(\displaystyle R\).

La tension \(\displaystyle u_G\left(t\right)\) aux bornes du générateur s'exprime par \(\displaystyle u_G\left(t\right)=U_{eff}\sqrt{2}\cos\left(\omega t+\phi\right)\) où \(\displaystyle \phi\) est le déphasage mesurée avec l'intensité, qui s'exprime par \(\displaystyle i\left(t\right)=I_{eff}\sqrt{2}\cos\left(\omega t\right)\).

En notation complexe, on a \(\displaystyle \underline{u}_G\left(t\right)=U_{eff}\sqrt{2}e^{j\left(\omega t+\phi\right)}\) et \(\displaystyle \underline{i}\left(t\right)=I_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}\).

Les dipôles étant branchés en série, la loi des mailles donne \(\displaystyle \underline{u}_G\left(t\right)=\underline{u}_R\left(t\right)+\underline{u}_L\left(t\right)+\underline{u}_C\left(t\right)\).

Aux bornes de la bobine, \(\displaystyle \underline{u}_L\left(t\right)=L\dfrac{d\underline{i}\left(t\right)}{dt}\).

Aux bornes de la résistance, \(\displaystyle \underline{u}_R\left(t\right)=R\underline{i}\left(t\right)\).

Aux bornes du condensateur, \(\displaystyle \underline{u}_C\left(t\right)=\dfrac{\underline{q}\left(t\right)}{C}\).

Alors la loi des mailles s'écrit :

\(\displaystyle \begin{align*} \underline{u}_G\left(t\right)=\underline{u}_R\left(t\right)+\underline{u}_L\left(t\right)+\underline{u}_C\left(t\right) \\ \underline{u}_G\left(t\right)=R\underline{i}\left(t\right)+L\dfrac{d\underline{i}\left(t\right)}{dt}+\dfrac{\underline{q}\left(t\right)}{C} \\ U_{eff}\sqrt{2}e^{j\left(\omega t+\phi\right)}=RI_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}+L\dfrac{d\left[I_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}\right]}{dt}+\dfrac{1}{C}\int{I_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}dt} \\ U_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}e^{j\phi}=RI_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}+Lj\omega I_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}+\dfrac{1}{jC\omega}I_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t} \\ U_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}e^{j\phi}=RI_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}+L\omega I_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}e^{\dfrac{j\pi}{2}}+\dfrac{1}{C\omega}I_{eff}\sqrt{2}e^{j\omega t}e^{\dfrac{-j\pi}{2}} \\ U_{eff}e^{j\phi}=RI_{eff}+L\omega I_{eff}e^{\dfrac{j\pi}{2}}+\dfrac{1}{C\omega}I_{eff}e^{\dfrac{-j\pi}{2}} \\ \dfrac{U_{eff}}{I_{eff}}e^{j\phi}=R+L\omega e^{\dfrac{j\pi}{2}}+\dfrac{1}{C\omega}e^{\dfrac{-j\pi}{2}} \\ \end{align*} \)

On définit l'impédance complexe \(\displaystyle \underline{Z}\) par \(\displaystyle \underline{Z}=\dfrac{U_{eff}}{I_{eff}}e^{j\phi}\).

On peut écrire alors que \(\displaystyle \underline{Z}=R+L\omega e^{\dfrac{j\pi}{2}}+\dfrac{1}{C\omega}e^{\dfrac{-j\pi}{2}}\).

Le module de cette impédance complexe donne l'impédance réelle \(\displaystyle Z\) telle que \(\displaystyle Z=\sqrt{R^2+\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^2}\).

On peut retrouver cette expression par le biais des vecteurs de Fresnels et le théorème de Pythagore.

Que se passe t-il quand \(\displaystyle \omega\) varie ?

Comme \(\displaystyle U_{max}=ZI_{max}\) alors \(\displaystyle I_{max}=\dfrac{U_{max}}{Z}\) ou encore \(\displaystyle I_{max}=\dfrac{U_{max}}{\sqrt{R^2+\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}\).

\(\displaystyle I_{max}\) est maximale quand \(\displaystyle Z\) est minimale. Donc quand \(\displaystyle L\omega-\dfrac{1}{C\omega}=0\) ou encore quand \(\displaystyle LC\omega^2=1\).

A cet instant, \(\displaystyle \omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\). C'est la pulstation quand \(\displaystyle I_{max}\) est maximale. Elle est notée \(\displaystyle \omega_0\).

Autour de cette pulsation, règne une bande passante notée \(\displaystyle \Delta\omega\) de sorte que \(\displaystyle i\left(t\right)\geqslant\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}\).

Pour avoir \(\displaystyle \Delta \omega\), c'est-à-dire \(\displaystyle \omega_1\) et \(\displaystyle \omega_2\), il faut résoudre l'inéquation \(\displaystyle i\left(\omega\right)\geqslant\dfrac{I_0}{\sqrt{2}}\) :

\(\displaystyle \begin{align*} i\left(\omega\right)\geqslant\dfrac{I_0}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{U_{max}}{Z}\geqslant\dfrac{I_0}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{U_{max}}{\sqrt{R^2+\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}\geqslant\dfrac{U_{max}}{R\sqrt{2}} \text{ car } I_0=\dfrac{U_{max}}{R}\\ \dfrac{1}{\sqrt{R^2+\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}\geqslant\dfrac{1}{R\sqrt{2}} \\ \sqrt{R^2+\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^2}\leqslant R\sqrt{2} \\ R^2+\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^2\leqslant 2R^2 \\ \left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^2\leqslant R^2 \\ \left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}\right)^2-R^2\leqslant 0 \\ \left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}-R\right)\left(L\omega-\dfrac{1}{C\omega}+R\right)\leqslant 0 \\ \left(L\omega^2-RC\omega-1\right)\left(L\omega^2+RC\omega-1\right)\leqslant 0 \\ \end{align*} \)

On a deux équations à résoudre :

\(\displaystyle \begin{align*} L\omega^2-RC\omega-1&=0 & L\omega^2+RC\omega-1&=0 \\ \Delta&=\left(-RC\right)^2+4LC & \Delta&=\left(RC\right)^2+4LC \\ \omega_1&=\dfrac{RC-\sqrt{\Delta}}{2LC} & \omega_1&=\dfrac{-RC-\sqrt{\Delta}}{2LC} \\ \omega_2&=\dfrac{RC+\sqrt{\Delta}}{2LC} & \omega_2&=\dfrac{-RC+\sqrt{\Delta}}{2LC} \\ \end{align*} \)

De ces quatres solutions, on retient uniquement \(\displaystyle \omega_1=\dfrac{-RC+\sqrt{\Delta}}{2LC}\) et \(\displaystyle \omega_2=\dfrac{RC+\sqrt{\Delta}}{2LC}\).

Alors :

\(\displaystyle \begin{align*} \Delta\omega&=\omega_2-\omega_1 \\ \Delta\omega&=\dfrac{RC+\sqrt{\Delta}}{2LC}-\dfrac{-RC+\sqrt{\Delta}}{2LC} \\ \Delta\omega&=\dfrac{2RC}{2LC}\\ \Delta\omega&=\dfrac{R}{L}\\ \end{align*} \)

On a une bande passante \(\displaystyle \Delta\omega=\dfrac{R}{L}\).

On définit le facteur de qualité par \(\displaystyle Q=\dfrac{\omega_0}{\Delta\omega}\). Ce qui donne \(\displaystyle Q=\dfrac{L\omega_0}{R}\).