Enseignement

Question du jour en physique :

Démontrer la troisième loi de Kepler ?

Réponse :

On considère un corps de masse \(\displaystyle m\) en orbite circulaire uniforme autour d'une étoile de masse \(\displaystyle M\).

Le référentiel étant supposé galilléen, on utilise la deuxième loi de Newton : \(\displaystyle \sum \overrightarrow{F}_{ext}=m\overrightarrow{a}\).

La seule force exerccée sur le corps est la force d'attraction émise par l'étoile : \(\displaystyle \overrightarrow{F}=G\dfrac{Mm}{r^2}\overrightarrow{u}\).

La deuxième loi de Newton devient donc :

\(\displaystyle \begin{align*} \overrightarrow{F}_{ext}&=m\overrightarrow{a} \\ G\dfrac{Mm}{r^2}\overrightarrow{u}&=m\dfrac{v^2}{r}\overrightarrow{u} \text{ car la trajectoire est circulaire et uniforme}\\ G\dfrac{Mm}{r^2}&=m\dfrac{v^2}{r}\\ G\dfrac{M}{r^2}&=\dfrac{v^2}{r}\\ G\dfrac{M}{r^2}&=\dfrac{\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^2}{r} \text{ car } v=\dfrac{2\pi r}{T}\\ G\dfrac{M}{r^2}&=\dfrac{4\pi^2 r^2}{T^2r}\\ G\dfrac{M}{4\pi^2}&=\dfrac{r^4}{T^2r}\\ \dfrac{GM}{4\pi^2}&=\dfrac{r^3}{T^2}\\ \end{align*} \)

L'écriture de la loi est plus connue sout la forme \(\displaystyle \dfrac{a^3}{T^2}=\dfrac{GM}{4\pi^2}\) en posant \(\displaystyle r=a\).