Anniversaire
1955 : Nina HAGEN
Pensée ou citation du jour
« Quand la vérité n'est pas libre, la liberté n'est pas vraie. »
[Jacques PREVERT]
Historique
En 1794, naissance de l'école Polytechnique
En 1978, décès de Claude FRANCOIS
Question du jour en physique :
Démonstration de la formule de Fresnel (éclairement en Interférence de deux ondes cohérentes) ?
Réponse :
On considère une source ponctuelle lumineuse monochromatique sphérique.
Elle est placée au niveau du foyer objet d'une lentille convergente de façon à ce que les rayons émergeants de la lentille soient parallèles entre eux et à l'axe optique.
On place deux fentes (ou deux trous) \(\displaystyle S_1\) et \(\displaystyle S_2\) séparés d'une distance \(\displaystyle e\). Les deux rayons issus de ces deux trous convergent vers un écran. On étudie l'éclairement lumineux ou l'intensité lumineuse en un point \(\displaystyle M\) de l'écran.
Les coordonnées des points sont :
Point \(\displaystyle S\) : \(\displaystyle S\left(0;0;-d-D\right)\)
Point \(\displaystyle S_1\) : \(\displaystyle S_1\left(\dfrac{e}{2};0;-D\right)\)
Point \(\displaystyle S_2\) : \(\displaystyle S_1\left(\dfrac{-e}{2};0;-D\right)\)
Point \(\displaystyle M\) : \(\displaystyle M\left(x;y;z\right)\)
On note \(\displaystyle \underline{s_1}\) la vibration lumineuse issue du point \(\displaystyle S_1\) telle que \(\displaystyle \underline{s_1}=I_0e^{j\left(\omega t+\phi_1\right)}\).
On note \(\displaystyle \underline{s_2}\) la vibration lumineuse issue du point \(\displaystyle S_2\) telle que \(\displaystyle \underline{s_2}=I_0e^{j\left(\omega t+\phi_2\right)}\).
La source ponctuelle est monochromatique et les deux vibrations sont synchrones. Elles sont en cohérence temporelle.
Par le principe de superposition, \(\displaystyle \underline{s}=\underline{s_1}+\underline{s_2}\).
L'intensité lumineuse se calcule par \(\displaystyle I=<\underline{s}^2>\) ou encore par \(\displaystyle I=<\underline{s}\underline{s}^*>\).
On a alors :
\(\displaystyle \begin{align*} I&=<\underline{s}\underline{s}^*> \\ I&=\left(\underline{s_1}+\underline{s_2}\right)\left(\underline{s_1}+\underline{s_2}\right)^* \\ I&=\left(I_0e^{j\left(\omega t+\phi_1\right)}+I_0e^{j\left(\omega t+\phi_2\right)}\right)\left(I_0e^{j\left(\omega t+\phi_1\right)}+I_0e^{j\left(\omega t+\phi_2\right)}\right)^* \\ I&=I_0e^{j\omega t}\left(e^{-j\phi_1}+e^{-j\phi_2}\right)\left[I_0e^{j\omega t}\left(e^{-j\phi_1}+e^{-j\phi_2}\right)\right]^* \\ I&=I_0e^{j\omega t}\left(e^{-j\phi_1}+e^{-j\phi_2}\right)I_0e^{-j\omega t}\left(e^{j\phi_1}+e^{j\phi_2}\right) \\ I&=I_0^2\left(e^{-j\phi_1}+e^{-j\phi_2}\right)\left(e^{j\phi_1}+e^{j\phi_2}\right) \text{ car } e^{j\omega t}e^{-j\omega t}=1\\ I&=I_0^2\left(e^{-j\phi_1+j\phi_1}+e^{-j\phi_1+j\phi_2}+e^{-j\phi_2+j\phi_1}+e^{-j\phi_2+j\phi_2}\right)\\ I&=I_0^2\left(2+e^{-j\phi_1+j\phi_2}+e^{-j\phi_2+j\phi_1}\right) \text{ car } e^{-j\phi_1+j\phi_1}=1 \text{ et } e^{-j\phi_2+j\phi_2}=1\\ I&=I_0^2\left[2+\cos\left(\phi_2-\phi_1\right)+j\sin\left(\phi_2-\phi_1\right)+\cos\left(\phi_1-\phi_2\right)+j\sin\left(\phi_1-\phi_2\right)\right] \\ I&=I_0^2\left[2+2\cos\left(\phi_2-\phi_1\right)\right] \\ I&=2I_0^2\left[1+\cos\left(\phi_2-\phi_1\right)\right] \\ \end{align*} \)
Cette formule peut s'écrire \(\displaystyle I=I_0^2+I_0^2+2I_0^2\cos\left(\phi_2-\phi_1\right)\). On a bien \(\displaystyle I\neq I_0+I_0\) ce qui se traduit par l'existence d'interférence : les deux sources secondaires sont cohérentes. Il y a existence du terme d'interférence \(\displaystyle I_0\cos\left(\phi_2-\phi_1\right)\)
.Cet éclairement est maximale quand \(\displaystyle \cos\left(\phi_2-\phi_1\right)=1\) donc quand \(\displaystyle \phi_2-\phi_1=2k\pi\).
Cet éclairement est minimale quand \(\displaystyle \cos\left(\phi_2-\phi_1\right)=-1\) donc quand \(\displaystyle \phi_2-\phi_1=\left(2k+1\right)\pi\).
Il nous faut l'expression de \(\displaystyle \phi_2-\phi_1\) pour obtenir l'allure de l'éclairement.
Pour cela, on utilise le fait que \(\displaystyle \phi_2-\phi_1=\dfrac{2\pi}{\lambda}\delta\) avec \(\displaystyle \delta\), la différence de marche telle que \(\displaystyle \delta=\left(S_2M\right)-\left(S_1M\right)\).
Comme \(\displaystyle n=1\), alors \(\displaystyle \delta=\overline{S_2M}-\overline{S_1M}\).
Avec les coordonnées de \(\displaystyle M\), \(\displaystyle S_1\) et \(\displaystyle S_2\), on obtient \(\displaystyle \overrightarrow{S_2M}\begin{pmatrix} x+\dfrac{e}{2} \\ y \\ D \end{pmatrix}\) et \(\displaystyle \overrightarrow{S_1M}\begin{pmatrix} x-\dfrac{e}{2} \\ y \\ D \end{pmatrix}\).
On a alors :
\(\displaystyle \begin{align*} \overline{S_1M}&=\sqrt{\left(x-\dfrac{e}{2}\right)^2+y^2+D^2} & \overline{S_2M}&=\sqrt{\left(x+\dfrac{e}{2}\right)^2+y^2+D^2} \\ \overline{S_1M}&=D\sqrt{\dfrac{\left(x-\dfrac{e}{2}\right)^2}{D^2}+\dfrac{y^2}{D^2}+1} & \overline{S_2M}&=D\sqrt{\dfrac{\left(x+\dfrac{e}{2}\right)^2}{D^2}+\dfrac{y^2}{D^2}+1} \\ \overline{S_1M}&=D\sqrt{1+\dfrac{y^2}{D^2}+\dfrac{\left(x-\dfrac{e}{2}\right)^2}{D^2}} & \overline{S_2M}&=D\sqrt{1+\dfrac{y^2}{D^2}+\dfrac{\left(x+\dfrac{e}{2}\right)^2}{D^2}} \\ \overline{S_1M}&=D\left[1+\dfrac{y^2}{2D^2}+\dfrac{\left(x-\dfrac{e}{2}\right)^2}{2D^2}\right] & \overline{S_2M}&=D\left[1+\dfrac{y^2}{2D^2}+\dfrac{\left(x+\dfrac{e}{2}\right)^2}{2D^2}\right] \text{ à l'aide du développement limité à l'ordre 1}\\ \end{align*} \)
Ce qui donne pour \(\displaystyle \delta\) :
\(\displaystyle \begin{align*} \delta&=D\left[1+\dfrac{y^2}{2D^2}+\dfrac{\left(x+\dfrac{e}{2}\right)^2}{2D^2}\right]-D\left[1+\dfrac{y^2}{2D^2}+\dfrac{\left(x-\dfrac{e}{2}\right)^2}{2D^2}\right] \\ \delta&=D\left(1+\dfrac{2ex}{4D^2}+\dfrac{2ex}{4D^2}\right)\\ \delta&=\dfrac{ex}{D}\\ \end{align*} \)
Ainsi, l'éclairement s'écrit \(\displaystyle I=2I_0^2\left[1+\cos\left(\dfrac{ex}{D}\right)\right]\).
On a les franges claires pour \(\displaystyle I=I_{max}\) pour \(\displaystyle x=x_{max}\) avec \(\displaystyle x_{max}=\dfrac{k\lambda D}{e}\).
On a les franges sombres pour \(\displaystyle I=I_{min}\) pour \(\displaystyle x=x_{min}\) avec \(\displaystyle x_{min}=\left(k+1\right)\dfrac{\lambda D}{e}\).