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Question du jour en physique :

Démontrer l'équation de propagation d'une tension et d'une intensité dans un câble coaxiale ?

Réponse :

On considère un câble coaxiale de longueur \(\displaystyle L\). Le rayon de l'âme du câble est \(\displaystyle a\) et le rayon de l'isolant avec la gaine est \(\displaystyle b\).

La grande longueur du câble ne permet pas de se positionner dans l'approximation en régime quasi stationnaire (ARQS). Par conséquent, on « découpe » le câble en petite portion de longueur \(\displaystyle dx\) schématisé par un condensateur de capacité linéique \(\displaystyle C\) et une bobine d'inductance linéique \(\displaystyle L\).

On place une bobine car la ciculation du courant engendre un champ magnétique induit, ce qui est représenté par la bobine.

On place un condensateur pour traduire l'effet capacitif entre l'âme et la gaine.

La capacité du condensateur est donc notée \(\displaystyle Cdx\) et l'inductance de la bobine est notée \(\displaystyle Ldx\).

Pour établir les relations de structure et l'équation de propagation de d'Alembert, on utilise la loi des mailles et la loi des noeuds :

La loi des mailles nous ammène à écrire :

\(\displaystyle \begin{align*} u\left(x,t\right)+u_L&=u\left(x+dx,t\right)\\ u\left(x+dx,t\right)-u\left(x,t\right)&=U_L\\ u\left(x+dx,t\right)-u\left(x,t\right)&=-Ldx\dfrac{\partial i}{\partial t}\\ \dfrac{\partial u}{\partial x}dx&=-Ldx\dfrac{\partial i}{\partial t}\\ \dfrac{\partial u}{\partial x}&=-L\dfrac{\partial i}{\partial t}\\ \end{align*} \)

C'est la première relation de structure liant \(\displaystyle u\) et \(\displaystyle i\).

La loi des noeuds nous ammène à écrire :

\(\displaystyle \begin{align*} i\left(x,t\right)&=i_C+i\left(x+dx,t\right)\\ i\left(x+dx,t\right)-i\left(x,t\right)&=-i_C\\ i\left(x+dx,t\right)-i\left(x,t\right)&=-Cdx\dfrac{\partial u}{\partial t} \text{ car } i=\dfrac{dq}{dt} \text{ et } u=\dfrac{q}{C}\\ \dfrac{\partial i}{\partial x}dx&=-Cdx\dfrac{\partial u}{\partial t}\\ \dfrac{\partial i}{\partial x}&=-C\dfrac{\partial u}{\partial t}\\ \end{align*} \)

C'est la deuxième relation de structure liant \(\displaystyle u\) et \(\displaystyle i\).

A partir de ces deux relations de structures, on peut en déduire l'équation de propagation de \(\displaystyle u\) et celle de \(\displaystyle i\):

&circle; Pour celle de \(\displaystyle u\) :

\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{\partial u}{\partial x}&=-L\dfrac{\partial i}{\partial t}\\ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}&=-L\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial i}{\partial t}\right)\\ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}&=-L\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial i}{\partial x}\right) \text{ (à l'aide du théorème de Schartz)}\\ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}&=-L\dfrac{\partial}{\partial t}\left(-C\dfrac{\partial u}{\partial t}\right) \text{ car } \dfrac{\partial i}{\partial x}=-C\dfrac{\partial u}{\partial t}\\ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}&=LC\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}\\ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}-LC\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0 \text{ c'est l'équation de d'Alembert pour } u\\ \end{align*} \)

&circle; Pour celle de \(\displaystyle i\) :

\(\displaystyle \begin{align*} \dfrac{\partial i}{\partial x}&=-C\dfrac{\partial u}{\partial t}\\ \dfrac{\partial^2 i}{\partial x^2}&=-C\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial u}{\partial t}\right)\\ \dfrac{\partial^2 i}{\partial x^2}&=-C\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right) \text{ (à l'aide du théorème de Schartz)}\\ \dfrac{\partial^2 i}{\partial x^2}&=-C\dfrac{\partial}{\partial t}\left(-L\dfrac{\partial i}{\partial t}\right) \text{ car } \dfrac{\partial u}{\partial x}=-L\dfrac{\partial i}{\partial t}\\ \dfrac{\partial^2 i}{\partial x^2}&=LC\dfrac{\partial^2 i}{\partial t^2}\\ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}-LC\dfrac{\partial^2 i}{\partial t^2}=0 \text{ c'est l'équation de d'Alembert pour } i\\ \end{align*} \)

On pose \(\displaystyle c=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\), la célérité de l'onde.