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Question du jour en physique :

Démonstration de l'équation de propagation de la vitesse lors d'un son ?

Réponse :

Pour démontrer l'équation de propagation du son (de la pression) au travers d'un fluide, on considère une source sonore (un haut parleur) qui emmet une onde acoustique au sein d'un fluide de masse volumique \(\displaystyle \mu_0\) et de pression \(\displaystyle p_0\).

Le haut parleur emet une perturbation avec sa membrane est créé une succession de surpression, notée \(\displaystyle p\left(x;t\right)\). De la même façon, la masse volumique au niveau de la surpression augmente légèrement et est notée \(\displaystyle \mu\left(x;t\right)\). Ces petites variations sont très faibles devants les grandeurs : \(\displaystyle p\left(x;t\right)\ll p_0\) et \(\displaystyle \mu\left(x;t\right)\ll \mu_0\).

Ainsi, la pression totale s'exprime par \(\displaystyle P\left(x;t\right)=p_0+p\left(x;t\right)\) et la masse volumique totale s'exprime par \(\displaystyle \mu_{tot}=\mu_0+\mu\left(x;t\right)\).

Enfin, au niveau de cette surpression, la vitesse de la tranche de fluide se déplace à une vitesse notée \(\displaystyle \overrightarrow{v}\).

On utilise maintenant l'approximation acoustique qui part du principe où on considère de toutes petites varitions de la pression, de la masse volumique et de la vitesse. Ainsi, cest éléments sont d'ordre 1 et nous néglierons les termes en ordre supérieur.

Nous néglierons aussi l'effet de la gravitation sur le fluide, ainsi que sa viscosité : nous considérons en effet que le fluide est parfait.

On démare la démonstration avec l'équation de Navier-Stokes : \(\displaystyle \mu_{tot}\dfrac{D\overrightarrow{v}}{Dt}=\mu\overrightarrow{g}-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)+\eta\Delta\overrightarrow{v}\)

.

La dérive particulaire de la vitesse donne \(\displaystyle \dfrac{D\overrightarrow{v}}{Dt}=\dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\left(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\text{grad}}\right).\overrightarrow{v}\). L'équation s'écrit donc :

\(\displaystyle \mu_{tot}\left[\dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\left(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\text{grad}}\right).\overrightarrow{v}\right]=\mu\overrightarrow{g}-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)+\eta\Delta\overrightarrow{v}\)

Comme le fluide est parfait alors \(\displaystyle \eta\Delta\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\) et l'effet de la gravitation étant négligé devant les autres effets, alors \(\displaystyle \mu\overrightarrow{g}=\overrightarrow{0}\). L'équation devient donc :

\(\displaystyle \mu_{tot}\left[\dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\left(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\text{grad}}\right).\overrightarrow{v}\right]=-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)\)

Elle peut s'écrire aussi :

\(\displaystyle \mu_{tot}\dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\mu_{tot}\left(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\text{grad}}\right).\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)\)

Avec l'apparation de terme en ordre 2, on le supprime et on obtient :

\(\displaystyle \mu_{tot}\dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}=-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)\).

Comme enfin \(\displaystyle \mu_{tot}=\mu_0+\mu\left(x;t\right)\) alors l'équation s'écrit \(\displaystyle \left(\mu_0+\mu\left(x;t\right)\right)\dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}=-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)\)

Et en enlevant le terme d'ordre 2, il reste \(\displaystyle \mu_0\dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}=-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)\) On numérote (1) cette première équation.

On utlise ensuite l'équation de conservation de la masse : \(\displaystyle \dfrac{\partial \mu_{tot}}{\partial t}+\text{div}\left(\mu\overrightarrow{v}\right)=0\).

Comme \(\displaystyle \mu_{tot}=\mu_0+\mu\left(x;t\right)\) alors l'équation devient \(\displaystyle \dfrac{\partial \left[\mu_0+\mu\left(x;t\right)\right]}{\partial t}+\text{div}\left(\left[\mu_0+\mu\left(x;t\right)\right]\overrightarrow{v}\right)=0\).

En développant, on obtient \(\displaystyle \dfrac{\partial \mu_0}{\partial t}+\dfrac{\partial\mu\left(x;t\right)}{\partial t}+\text{div}\left(\mu_0\overrightarrow{v}\right)+\text{div}\left[\mu\left(x;t\right)\overrightarrow{v}\right]=0\).

Comme \(\displaystyle \mu_0=cte\) alors \(\displaystyle \dfrac{\partial \mu_0}{\partial t}=0\) et terme \(\displaystyle \mu_0\overrightarrow{v}=0\) car c'est un terme d'ordre 2. On a alors :

\(\displaystyle \dfrac{\partial\mu\left(x;t\right)}{\partial t}+\text{div}\left(\mu_0\overrightarrow{v}\right)=0\)

Ou encore \(\displaystyle \dfrac{\partial\mu\left(x;t\right)}{\partial t}+\mu_0\text{div}\left(\overrightarrow{v}\right)=0\). C'est l'équation (2).

On termine ensuite par l'utilisation l'expression du coefficient de compressibilité isentropique : \(\displaystyle \chi_S=\dfrac{1}{\mu_{tot}}\dfrac{\partial \mu_{tot}}{\partial P}\). Ce qui peus s'écrire par \(\displaystyle \chi_S=\dfrac{1}{\mu_{tot}}\dfrac{\mu\left(x;t\right)-\mu_0}{p\left(x;t\right)-p_0}\) soit encore \(\displaystyle \chi_S=\dfrac{1}{\mu_0}\dfrac{\mu\left(x;t\right)}{p\left(x;t\right)}\). C'est l'équation (3).

On peut commencer par former l'équation de propagation :

On part du résultat connu en électromagnétique : \(\displaystyle \overrightarrow{\text{rot}}\left[\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{v}\right)\right]=\overrightarrow{\text{grad}}\left[\text{div}\left(\overrightarrow{v}\right)\right]-\overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{v}\right)\).

Comme le fluide est irrotationnel, \(\displaystyle \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{v}\right)=0\) et comme l'écoulement est compressible, \(\displaystyle \text{div}\left(\overrightarrow{v}\right)\neq0\).

On peut donc écrire que \(\displaystyle \overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{v}\right)=\overrightarrow{\text{grad}}\left[\text{div}\left(\overrightarrow{v}\right)\right]\).

Avec l'equation (2), on peut écrire que \(\displaystyle \text{div}\left(\overrightarrow{v}\right)=-\dfrac{1}{\mu_0}\dfrac{\partial\mu\left(x;t\right)}{\partial t}\).

On peut écrire alors que :

\(\displaystyle \begin{align*} \overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{v}\right)&=\overrightarrow{\text{grad}}\left[-\dfrac{1}{\mu_0}\dfrac{\partial\mu\left(x;t\right)}{\partial t}\right] \\ -\dfrac{1}{\mu_0}\overrightarrow{\text{grad}}\left(\dfrac{\partial\mu\left(x;t\right)}{\partial t}\right)&=\overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{v}\right) \\ -\dfrac{1}{\mu_0}\dfrac{\partial}{\partial t}\overrightarrow{\text{grad}}\left[\mu\left(x;t\right)\right]&=\overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{v}\right) \\ \end{align*} \)

Avec l'équation (3), on écrit que \(\displaystyle \mu\left(x;t\right)=\chi_S\mu_0p\left(x;t\right)\). L'équation devient donc \(\displaystyle -\dfrac{1}{\mu_0}\dfrac{\partial}{\partial t}\overrightarrow{\text{grad}}\left[\chi_S\mu_0p\left(x;t\right)\right]=\overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{v}\right)\) ou encore \(\displaystyle -\dfrac{\chi_S\mu_0}{\mu_0}\dfrac{\partial}{\partial t}\overrightarrow{\text{grad}}\left[p\left(x;t\right)\right]=\overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{v}\right)\).

Avec l'equation (1), on écrit que \(\displaystyle \overrightarrow{\text{grad}}\left[p\left(x;t\right)\right]=-\mu_0\dfrac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t}\). Soit :

\(\displaystyle \begin{align*} -\chi_S\mu_0\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{v}}{\partial t^2}&=\overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{v}\right) \\ \overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{v}\right)-\chi_S\mu_0\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{v}}{\partial t^2}&=0 \\ \end{align*} \)

C'est l'équation de d'Alembert sur la propagation de la vitesse. En posant \(\displaystyle c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\chi_S}}\), cela donne \(\displaystyle \overrightarrow{\Delta}\left(\overrightarrow{v}\right)-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{v}}{\partial t^2}=0\).