Enseignement

Question du jour en physique :

Démonstration de l'équation de Navier-Stokes ?

Réponse :

Pour démontrer l'équation de navier Stokes, on considère une particule de fluide de masse volumique \(\displaystyle \mu\) et de volume \(\displaystyle d\tau\) situé dans un référentiel galiléen, ou pas muni d'un repère cartésien. Cette particule de fluide de centre de gravité, un point \(\displaystyle M\) est munie d'une vitesse \(\displaystyle \overrightarrow{v}\left(M\right)\).

On utilise la deuxième loi de Newton qui permet d'écrire que \(\displaystyle \sum \overrightarrow{F}_{ext}=m\overrightarrow{a}\).

Le bilan des forces s'obtient en considérant les forces de contacts et les forces à distances :

Parmi les forces à distance, on considère la force de gravitation qui implique que \(\displaystyle d\overrightarrow{F_G}=\mu d\tau\overrightarrow{g}\).

Parmi les forces de contact, on considère les forces tangentielles (forces de viscosité de cisaillement) et les forces normales (forces de pression).

La force de pression se calcule par \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_P=-p\overrightarrow{dS}\). Le signe - est dû au fait que la force de pression s'exerce du milieu extérieur vers l'intèrieure de la particule alors que le vecteur \(\displaystyle \overrightarrow{dS}\) est dirigé de l'intérieure vers l'extérieure. Les forces de pression sont schématisées sur un élément de volume \(\displaystyle d\tau=dxdydz\). On considère au niveau de ce volume (qui ressemble à un parallélépipède rectangle) les faces latéralles. Sur la face latérale de gauche, la force de pression s'exprime par \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_x=p\left(x,y,z\right)dydz\overrightarrow{u_x}\) et celle sur la face latérale droite est \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_x=-p\left(x+dx,y,z\right)dydz\overrightarrow{u_x}\).

La résultante de ces deux forces donne donc \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_x=p\left(x,y,z\right)dydz\overrightarrow{u_x}-p\left(x+dx,y,z\right)dydz\overrightarrow{u_x}\), ce qui se simplifie par \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_x=\left[p\left(x,y,z\right)-p\left(x+dx,y,z\right)\right]dydz\overrightarrow{u_x}\).

Or, \(\displaystyle p\left(x,y,z\right)-p\left(x+dx,y,z\right)=-\dfrac{\partial p}{\partial x}dx\) selon le développement de Taylor à l'ordre 1. Ainsi, \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_x=-\dfrac{\partial p}{\partial x}dxdydz\overrightarrow{u_x}\).

De la même façon, au niveau des autres faces, on aura \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_y=-\dfrac{\partial p}{\partial y}dxdydz\overrightarrow{u_y}\) et enfin \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_z=-\dfrac{\partial p}{\partial z}dxdydz\overrightarrow{u_z}\).

Ce qui peut se résumer par \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_P=-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)d\tau\).

La force de viscosité est liée à la vitesse de la particule. On considère deux couches de fluide, l'une placée au dessus de l'autre. Si elles se déplacent dans le même sens à la même vitesse et dans la même direction, alors il n'y a pas de frottement dû à la viscosité des fluides. En revanche, si la vitesse est différente, il y aura ces forces de frottements. Les forces de viscosités sont donc dues à la différence de vitesse entre les deux couches.

Cette différence de vitesse s'obtient par \(\displaystyle \overrightarrow{v}\left(y+\dfrac{dy}{2};t\right)-\overrightarrow{v}\left(y-\dfrac{dy}{2};t\right)=\left[v_x\left(y+\dfrac{dy}{2};t\right)-v_x\left(y-\dfrac{dy}{2};t\right)\right]\overrightarrow{u}_x\).

Avec le développement de Taylor à l'ordre 1, on peut alors écrire que \(\displaystyle \overrightarrow{v}\left(y+\dfrac{dy}{2};t\right)-\overrightarrow{v}\left(y-\dfrac{dy}{2};t\right)=\dfrac{\partial v_x}{\partial y}dy\overrightarrow{u}_x\). Pour une surface \(\displaystyle dS\), on aura \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_V=\eta\dfrac{\partial v_x}{\partial y}\overrightarrow{dS}\).

Au niveau de la particule de fluide, on peut alors écrire que :

\(\displaystyle \begin{align*} d\overrightarrow{F}_V&=\left[\eta\dfrac{\partial v_x}{\partial y}\left(x;y+dy;z;t\right)-\eta\dfrac{\partial v_x}{\partial y}\left(x;y;z;t\right)\right]\overrightarrow{dS} \\ d\overrightarrow{F}_V&=\eta\dfrac{\partial^2 v_x}{\partial y^2}dy\overrightarrow{dS} \\ d\overrightarrow{F}_V&=\eta\dfrac{\partial^2 v_x}{\partial y^2}d\tau\overrightarrow{u}_x \\ \end{align*} \)

Pour les autres surfaces, les forces de cisaillement sont nulles car la vitesse ne dépend que de \(\displaystyle y\). Alors finalement, \(\displaystyle d\overrightarrow{F}_V=\eta\Delta\overrightarrow{v}d\tau\).

On peut maintenant réunir les forces qui agissent sur la particule de fluide et utiliser la deuxième loi de Newton :

\(\displaystyle \begin{align*} d\overrightarrow{F}_G+d\overrightarrow{F}_P+d\overrightarrow{F}_V&=\mu d\tau\dfrac{D\overrightarrow{v}}{Dt} \\ \mu d\tau\overrightarrow{g}-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)d\tau+\eta\Delta\overrightarrow{v}d\tau&=\mu d\tau\dfrac{D\overrightarrow{v}}{Dt} \\ \mu\overrightarrow{g}-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)+\eta\Delta\overrightarrow{v}&=\mu\dfrac{D\overrightarrow{v}}{Dt} \\ \end{align*} \)

C'est l'équation de Navier-Stokes. L'accélération ici est l'accélération particulaire telle que \(\displaystyle \dfrac{D\overrightarrow{v}}{Dt}=\dfrac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\text{grad}}\left(v\right)\).

Si on néglige les forces de viscosité, alors l'équation devient \(\displaystyle \mu\overrightarrow{g}-\overrightarrow{\text{grad}}\left(p\right)=\mu\dfrac{D\overrightarrow{v}}{Dt}\). C'est l'équation d'Euler en considérant que le fluide est parfait : pas de force de viscosité.