Anniversaire
1890 : Charles DE GAULLE
Historique
En 1977, première liaison transatlantique du Concorde autorisé à atterrir à New York
En 1997, décès de Michael HUTCHENCE
En 2000, décès d'Emil ZATOPEK
Pensée ou citation du jour
« Le monde ne récompense pas l'honnêteté et l'indépendance, il récompense l'obéissance et la servilité. »
[Noam CHOMSKY]
Question du jour en physique :
Démontrer l'équation de propagation du champ électrique E dans le vide. ?
Réponse :
L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit \(\displaystyle \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{E}\right)=\dfrac{-\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\).
On fait intervenir l'opérateur rotationnel sur chaque membre de l'équation. On obtient : \(\displaystyle \overrightarrow{\text{rot}}\left[\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{E}\right)\right]=\overrightarrow{\text{rot}}\left(\dfrac{-\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)\).
Or, \(\displaystyle \overrightarrow{\text{rot}}\left[\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{X}\right)\right]=\overrightarrow{\text{grad}}\left[\text{div}\left(\overrightarrow{X}\right)\right]-\Delta\overrightarrow{X}\).
On a alors \(\displaystyle \overrightarrow{\text{grad}}\left[\text{div}\left(\overrightarrow{E}\right)\right]-\Delta\overrightarrow{E}=\overrightarrow{\text{rot}}\left(\dfrac{-\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)\)
L'équation de Maxwell-Gauss donne \(\displaystyle \text{div}\left(\overrightarrow{E}\right)=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}\). Dans le vide, elle s'écrit \(\displaystyle \text{div}\left(\overrightarrow{E}\right)=0\). On a alors : \(\displaystyle -\Delta\overrightarrow{E}=\overrightarrow{\text{rot}}\left(\dfrac{-\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)\).
D'après le théorème de Cauchy-Schwartz, \(\displaystyle \overrightarrow{\text{rot}}\left(\dfrac{-\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\right)=-\dfrac{\partial}{\partial t}\left[\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{B}\right)\right]\).
L'équation s'écrit alors \(\displaystyle -\Delta\overrightarrow{E}=-\dfrac{\partial}{\partial t}\left[\overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{B}\right)\right]\).
D'après l'équation de Maxwell-Ampère, \(\displaystyle \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{B}\right)=\mu_0\overrightarrow{j}+\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\). Dans le vide, elle s'écrit \(\displaystyle \overrightarrow{\text{rot}}\left(\overrightarrow{B}\right)=\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\).
L'équation s'écrit alors \(\displaystyle -\Delta\overrightarrow{E}=-\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\). Ce qui donne :
\(\displaystyle \begin{align*} -\Delta\overrightarrow{E}&=-\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right) \\ -\Delta\overrightarrow{E}+\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\right)&=0 \\ \Delta\overrightarrow{E}-\mu_0\epsilon_0\dfrac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}&=\overrightarrow{0} \\ \end{align*} \)